没有解才是真正的解？

1885年，瑞典学术杂志《数学学报》（ Acta Mathematica ）上刊登了一则引人注目的通告：时任挪威国王的奥斯卡二世是一名数学爱好者，他为了纪念自己60岁的生日，愿意用2500瑞典克朗悬赏四道数学难题的答案，获奖的答案会被刊登在杂志上。这些数学难题中有一道是关于太阳系的稳定性的，与我们讨论的三体问题紧密相关。我们先来看看这道题具体是什么。

在我们生活的太阳系里，除了太阳，还有几颗大行星和众多的小天体。这么多天体同处在太阳系内，并通过引力相互作用。 在错综复杂的引力作用之下，太阳系能够保持稳定的状态吗？ 因为太阳系远远不止3个天体，所以这其实是一个多体问题，它在数学上被称为“ N 体问题”（在这里， N ≥ 3）。

通告发出去后，很快就有许多学者跃跃欲试， N 体问题也成为数学界的研究重点之一。最终，在2年之后，法国数学家庞加莱获得了这一问题的悬赏金。不过，他并没有真正解决 N 体问题，恰恰相反，他证明了包括三体问题在内的 N 体问题在数学上无解 。虽然庞加莱的研究没有完全解决奥斯卡二世原先提出的问题，但比赛的评委们认为他的研究结果同样非常重要，甚至会为整个天体力学的研究开创新的纪元，所以仍然把奖金颁给了他。

三体问题听起来如此简单，但在数学上竟然没有解，甚至还有科学家因为证明了这个问题无解而获奖，是不是非常不可思议？当然，庞加莱所说的“无解”其实指“无法求得数学上的精确解”。什么是精确解呢？它是在求常微分方程的解时会涉及的一个数学概念。在解决力学问题时，科学家首先会建立有关这个问题的数学模型。对 N 体问题来说，它的数学模型就是一系列常微分方程组。不难理解，假如能解出这个方程组，得到解的数学表达式，科学家也就找到了 N 个天体在引力作用下的运动规律。只要把天体运动的初始状态以及要预测的时间点等数据代入这个表达式，他们就能知道天体在某个时间点的位置和速度大小了。这个表达式就是所谓的精确解。

但是，事与愿违，科学家们无法通过求方程组的解得到 N 体问题的数学表达式。他们只能退而求其次，采用插值、逼近等方法求出它的近似解。这种近似解并不是对运动规律的精确描述，而是在一定误差范围内的近似描述。因此，在追求完美的数学家看来， N 体问题就相当于无解了。

在历史上，有关庞加莱的获奖还有一个有趣的小插曲。最初，庞加莱曾写过一篇文章，宣称自己计算出了3个天体的运动轨迹，解决了三体难题。然而，随后他发现自己的证明过程中存在一个严重的错误，他的计算结果其实是不成立的。为了防止已发表的有错误的论文流传开来，他不得不自掏腰包，付出大笔费用来回收已经印刷好的杂志，金额甚至超过了他从国王那里获得的奖金——可怜的庞加莱，这真是一个令人哭笑不得的结果。