混沌现象与三体问题

我们把 N 体问题中 N 个天体的组合称为“ N 体系统”。三体系统的运动规律让人无法准确预知。这背后的深层原理究竟是什么呢？

在获得奖金后，庞加莱进一步研究了导致 N 体问题不可解的内在原因，他发现这种不可解源于确定性系统中蕴含的不确定性，也就是后人所说的“混沌现象”。庞加莱成为混沌理论的早期开创者，他的这一发现为人类打开了一扇认识混沌现象的大门。

可能很多人都听说过“混沌现象”这个概念，它指 在自然界中普遍存在的貌似随机的不规则运动 。出现混沌现象的系统就是混沌系统。一般来说，混沌系统的运动永远不会出现规律性的重复，我们无法对它们的未来进行准确预测。但是，混沌现象与真正的随机现象不同：随机现象完全没有规律，就像我们掷骰子或者硬币一样，出现的结果是随机的，没法预测；而出现混沌现象的系统往往可以用一组非线性的数学方程式描述，就像三体问题的常微分方程组那样，只不过这些方程不一定有精确解。

此外，尤其关键的一点是，混沌系统对初始状态极为敏感。也就是说，对一个混沌系统来说，在任何一个时间点，它的状态哪怕只有一点微小的改变，都会导致它随后的发展出现巨大的变化。这也是混沌现象与随机现象有着本质性不同的地方之一。

这又是什么意思呢？你可以用我们熟知的“蝴蝶效应”来理解混沌系统的发展：南美洲亚马孙河流域热带雨林里的一只蝴蝶轻轻地扇动一下翅膀，就可能在两周以后引起美国得克萨斯州的一场龙卷风。也就是说，一点微小的扰动有可能带来翻天覆地的变化。这种现象就叫“草灰蛇线，伏脉千里”。三体问题乃至 N 体问题就具有对初始条件极为敏感的特点。

这就导致 N 体系统接下来的发展完全不可预测，出现混沌现象。因此， N 体问题在数学上无法求出精确解，只能求得近似解。这样一来，就会出现一个大麻烦：既然是近似解，那么它的近似程度无论多么高，都不是完全精确的，会存在一定的误差。

在现实世界中，各种各样的动力学系统主要可以被分为两大类：线性系统和非线性系统。科学家发现，尽管不是所有的非线性系统都是混沌系统，但是混沌系统都是非线性的。换句话说，非线性有可能是导致混沌现象出现的根本原因。

例如，气象系统是典型的非线性系统之一，它就有典型的混沌现象：短期的天气预测一般比较准确，但长期的天气预测往往存在误差。这是我们在日常生活中就能体会到的。20世纪60年代，美国气象学家爱德华·洛伦茨首先指出了这一点。他也因此被称为“混沌理论之父”。

在庞加莱之后，许多科学家都投入了巨大的精力来研究自然界中神奇的混沌现象，混沌理论成为近代科学关注的焦点。甚至有人说，继相对论和量子力学之后，混沌理论掀起了基础科学的第三次革命。

再来看看经典的三体问题。几百年来，对三体问题的研究促使微分方程理论不断发展，虽然科学家至今还未找到普遍适用的解析解，但从数学的角度来看，他们并非一无所获：科学家陆续发现了一些三体运动在特殊情况下会出现有规律的周期现象，这就是所谓的三体问题的 特解 。目前发现的特解有三大类（三族）共13种，其中一类就是拉格朗日-欧拉族，它与航天领域中著名的拉格朗日点有关，我在“神奇的拉格朗日点”小节会详细介绍。

话题再次回到完美数学问题上。我们已经知道，三体问题研究的是三个天体在引力相互作用下的运动规律，其表达相当清楚和简洁，符合完美数学问题的第一个特点。而庞加莱从三体问题出发，发现了对现代基础科学产生深远影响的混沌理论的基础，说明三体问题符合完美数学问题的第二个特点，也就是在解决这个问题的过程中促进了新数学思想的产生。这样看来，三体问题的确是一个完美数学问题。

不过，这个完美数学问题产生的影响可并不那么完美：因为三体问题没有精确解，所以人们无法准确预测三体世界里三个太阳的运动。