3.4 “知道”意味着什么
设想一下,你正在参加电视竞赛节目《一锤定音》( Let's Make a Deal ),节目主持人蒙蒂·霍尔(Monty Hall)向你展示了三扇门,告诉你其中两扇门的后面是一只山羊,另外一扇门的后面是一辆崭新的跑车。你需要选择一扇门,无论门后是什么都归你了。当你选中一扇门,但还没有打开这扇门看看自己赢了没有的时候,蒙蒂阻止了你,然后打开了另外一扇门,门后是一只山羊(他知道每扇门的后面是什么)。此时他向你提供了一个机会,你可以坚持原来的选择,也可以转而选择第三扇没有被打开的门。你应该怎么做?
你的第一反应是最好坚持原来的选择。毕竟,当你开始选的时候,每扇门都有1/3的概率有跑车。现在既然打开了一扇门,那么你最初选择的那扇门后有跑车的概率就变成了1/2。换一扇门又能得到什么呢?
玛丽莲·沃斯·萨万特(Marilyn vos Savant)针对这个问题在《大观杂志》( Parade Magazine )上写了一个谜题特别专栏。她建议你换一扇门。她说跑车更有可能在未被打开的门后,而不是你最初选择的那扇门。如果你起初认为没理由更换的话,也不必感到羞愧:和你站在同一阵营的人多得很。专栏文章发表后,1万多封读者来信告诉她,她是错误的。在这1万多封信中,有1000多封信的作者自称是博士学位获得者。这篇文章和这些来信引起了巨大的轰动,以至于让这个故事登上了《纽约时报》的头版。
要弄清楚为什么应该换一扇门,让我们来看看所有的可能性,如图3-7所示。
![](https://book.img.zhangyue01.com/group62/zb/cj/8b59b41eb152632179d215994e414780.jpg?v=OIVmuuJU&t=fwAAAWZJaJA.)
图3-7 蒙蒂·霍尔问题的所有可能性
假设蒙蒂将跑车放在第三扇门后。你有三扇门可以选择,三种选择用三排情景表示。左半部分显示的是如果你坚持最初的选择会发生什么,右半部分显示的是如果你改变了自己的选择会发生什么。不换的策略让你有1/3的概率得到跑车,而更换的策略让你有2/3的概率获胜。你的确应该换一扇门。
这里发生了什么?为什么换一扇门会有这么大的优势呢?答案在于,当蒙蒂·霍尔打开一扇门时,他给了你更多信息。蒙蒂知道跑车在哪扇门的后面,而且不会打开有跑车的门。通过避开另外一扇门,他为你提供了另外一扇门被避开的信息。当他为你提供了信息的时候,每扇门后面的内容的概率发生了改变。
有一种方法可以让你更清楚地看出这一点。想象一下蒙蒂给你展示了25扇门,告诉你其中一扇门后面有一辆跑车,其他24扇门后都是一只山羊。你选择了一扇门,然后蒙蒂接下来打开了其他23扇门,每扇门的后面都是一只山羊,如图3-8所示。
![](https://book.img.zhangyue01.com/group62/nt/mT/c4112f9d0d33ecea6cfa7b11c6acec7f.jpg?v=waKmjHb7&t=fwAAAWZJaJA.)
图3-8 蒙蒂·霍尔问题的扩展版
现在只有两扇门是蒙蒂没有打开的:你选择的那扇门和他避开的那扇门。现在只剩下两种可能:(a)你选择的那扇门是有跑车的(1/25的概率),蒙蒂在故弄玄虚,希望你换成另一扇;(b)你选择的是一扇有山羊的门(24/25的概率),而蒙蒂既然知道跑车在哪扇门后,他就不会去开那扇门。很显然你应该换。在这里, 通过不告诉你跑车在哪里 ,蒙蒂隐秘地向你提供了跑车所在的相关信息。
还存在这样一种值得思考的有趣情景。假设蒙蒂本人并不知道跑车在哪里,那么他就会随机开门。他可能会恰好打开有跑车的门,游戏就结束了。但如果他没有恰好打开有车的门,那么你应该换吗?答案:不换!不会有额外的好处。当你知道蒙蒂知道真相,而且他在隐秘地为你提供信息的时候,你才应该换。
我们在本节探讨“知道”和信息的奇异之处,而这只是其中的一面而已。
与“知道”相关的最简单的悖论是我们在第2章遇到的著名的说谎者悖论的变体。在你的头脑中记住下面这个观点:
这个观点是错误的。
和说谎者悖论一样,当且仅当这个观点是正确的,它才是错误的。这个自指悖论也有许多变体。例如,在某个周二你突然觉得今天自己不能正常思考,
不过明天的时候,我的想法就会清晰、正确。
那么,在周三,你会意识到:
我昨天的所有想法都是错误的。
问:你在周二的想法是正确的还是错误的?只需进行简短的论证就会发现,当且仅当周二的想法是错误的时候,周二的想法才是正确的。
针对这个悖论,一个可能的解决方案是承认人类的思维本就充满矛盾。正如我在第1章提到的那样,人类思维不是一台完美的机器,存在着互相冲突的想法。只需要一点内省精神,就能发现我们所有人都相信彼此矛盾的概念。
突击测验悖论 (surprise-test paradox)是与“知道”相关的更有趣的悖论之一。一位老师在班上声称下周将有一次突击测验。那周需要上课的最后一天是周五。突击测验会在哪一天进行呢?如果测验在周五进行,那么周四晚上放学之后,学生们就知道他们要在周五测验了,这样的测验就不会是突击测验,所以突击测验不会发生在周五。这是纯粹的逻辑推理,每个人都知道这一点。这场测验会安排在周四吗?周三晚上放学后,学生们会推导出来,既然测验还没发生,而且它不能发生在周五,那它一定是在周四。然而相同的情况再次出现了,既然他们知道测验肯定安排在周四,那它就不再是突击测验了。所以这场测验不能安排在周四或周五。我们可以用同样的方式继续推理,判断出这场测验不能发生在周三、周二或周一。这场突击测验到底会被安排在哪一天呢?逻辑向我们指出,一名老师不可能在既定的时间段里安排一场突击测验。这是个悖论,因为这违反显而易见的常识,数千年来老师们一直在用突击测验折磨自己的学生。
有趣的是,只要老师保持沉默的话,这个悖论就不会出现了。问题之所以产生,仅仅是因为这名老师向学生们宣布将有一场突击测验。学生们被告知有突击测验的那一刻,他们必定同时产生了两种互相矛盾的想法:将有一场突击测验,不可能有一场突击测验。
2006年,亚当·布兰登布格尔(Adam Brandenburger)和杰尔姆·凯斯勒(Jerome Keisler)共同发表了一篇关于理性与信念的开创性论文。在下象棋的时候,你肯定是基于理性落子的,并将棋盘上各个棋子的位置考虑在内。你的对手在下棋时也是基于理性的,你肯定也会将这一点考虑在内。你会意识到当你走出理性的一步时,你的对手会看到你的动作,并同样走出理性的一步。你的对手也会考虑到你是理性的,而且她知道你知道她是理性的。在需要策略的任何情况下,这样的情景都会来来回回地反复发生(如图3-9所示)。然而这样的情景是存在问题的。信念处理自身的能力会导致自指悖论的出现,从而产生某种局限。
布兰登布格尔—凯斯勒悖论 (Brandenburger-Keisler paradox)就是一个简单的例子。它是一种双人说谎者悖论。假设安和鲍勃正在思考彼此的想法。现在思考下面这两行话描述的情景:
![](https://book.img.zhangyue01.com/group62/yP/4x/c373eeb6ee0717ab80297681d91bbfc3.jpg?v=jE26jMGK&t=fwAAAWZJaJA.)
图3-9 两个人思考对方的策略
安相信鲍勃认为的
安相信鲍勃认为的是错误的。
提出下面这个问题:
安是否相信鲍勃认为的是错误的?
如果你回答“是”,那么你就是在同意第二行话。第一行话说安相信这个认为是正确而非错误的。因此答案是“否”。让我们试试从反方向推理:这个问题的答案是“否”,即安不相信鲍勃认为的是错误的。那么安相信鲍勃认为的是正确的。那么第二行声称“安相信鲍勃认为的是错误的”,就是正确的。所以应该回答“是”。这是一个矛盾。
布兰登布格尔和凯斯勒采纳了这个观念并将其进一步发展。他们革命性的工作成果表明,在两个对手互相揣摩的任何类型的游戏中,都会存在局限或“漏洞”。也就是说,会存在可能导致矛盾发生的情况。