第4章
无限谜题
理性最后的功能是认识到有无限的事物存在于它的边界之外。如果它看得不够远,还不能知道这一点的话,它就是虚弱无力的。 [1]
——布莱兹·帕斯卡(Blaise Pascal,1623—1662)
飞向宇宙,浩瀚无垠!
——巴斯光年,《玩具总动员》( Toy Story ,1995)
外面有无数只猴子想要进来和咱们讨论它们创作的剧本《哈姆雷特》。
——道格拉斯·亚当斯(Douglas Adams,1952—2001),
《银河系漫游指南》(
The Hitchhiker's Guide to the Galaxy
)
自古典时代以来,人们就在思索无限及其性质。在过去的大部分时间里,我们对无限的想法都充斥着难以承受严格论证的检验的奇怪观念。带着这样的混乱,中世纪的人们喋喋不休地讨论着空洞愚蠢的问题,比如:“大头针的头上可以容下多少天使跳舞?”19世纪末,格奥尔格·康托尔(Georg Cantor,1845—1918)和他的几位伙伴终于抓住了这个需要小心对待的主题,取得了一些进展。然而,关于无限的新科学有许多很不直观的观念,这些观念对我们的直觉是一种挑战。
我们需要意识到,关于无限的观念并不只是在象牙塔里神情茫然的教授们中间泛滥的抽象学术思考。相反,整个微积分学都以本章提到的关于无限的现代观念为基础。而微积分学又是所有现代数学、物理学和工程学的基础,正是这些学科让我们高度发达的技术文明成为可能。违反直觉的无限观念之所以是现代科学的中流砥柱,是因为它们行之有效。我们不能简单地忽视它们。
4.1节讨论的是集合的基本语言。在这一节,我只论述了较为熟悉的有限集合,并对两个集合在什么情况下大小相等进行了妥帖的定义。在4.2节中,我会将这个在有限集合中十分适用的定义应用在无限集合中,看一看会发生什么。无限的奇异世界开始让生活变得更加有趣。本章的核心是4.3节,我们将遇到无限的不同层次。在这个过程中,我们将学到一种有力的证明方法,称为对角化(diagonalization)。我用4.4节作为结尾,并在这一节讨论更为高阶和哲学的主题。
[1] 摘自帕斯卡的《沉思录》( Pensées ,267),法语原文是,“La dernière démarche de la raison est de reconnaîitre qu'il y a une infinité de choses qui la surpassent, Elle n'est que faible si elle ne va jusqu'à connaîitre cela”。