2.2 自指悖论
造成说谎者悖论这一问题的原因是语言可以用来描述语言。具体地说,就是一句话可以讨论它自身的真实性。语言描述语言的能力是一种自我指涉。从这种自我指涉中诞生的悖论是本节探讨的主题。虽然这些悖论本身并不是语言悖论,但它们与说谎者悖论非常相似,并且有助于我们理解自我指涉的真正本质。
英国哲学家伯特兰·罗素曾经描述过一个十分有趣的小悖论,后来称为理发师悖论。想象一下,在奥地利的阿尔卑斯山区有一座偏僻的小村庄,村子里只有一名理发师。有的村民自己刮胡子,有的村民找理发师刮胡子。村子里的每个人都遵守下列规则:所有不自己刮胡子的人都必须找唯一的理发师刮胡子,而所有自己刮胡子的人都不劳烦理发师动手。这似乎是一条无关痛痒的规则。要是能通过给自己刮胡子的方式省下一笔钱的话,为什么还要去找理发师呢?如果去找理发师的话,为什么还要自己刮胡子呢?现在,你只需要问问自己下面这个问题:
谁来给理发师刮胡子呢?
理发师也是村民的一员,所以如果他不自己刮胡子的话,他必须去找理发师。但他自己就是理发师,于是他变成了自己刮胡子的人。如果他给自己刮胡子的话,那就是理发师给他刮胡子,所以他应该去找理发师,而不应该给自己刮胡子。
可以用图2-1来表示理发师悖论。我们将所有村民这个集合分成两部分,看一看理发师应该位于左边还是右边。
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图2-1 理发师在哪个子集里呢?
与说谎者悖论不同,理发师悖论的解决方案非常简单:符合这种描述的村庄是不存在的。它不可能存在,因为对它的描述隐藏着内在矛盾。我们对村民的描述在理发师身上施加了矛盾。既然真实的世界不可能有矛盾,这座村庄也就不会真正存在。奥地利的阿尔卑斯山区有许多其他村庄,但它们的情况都与之不同。这些村庄可能有两个互相刮胡子的理发师;可能有一名不需要刮胡子的女性理发师;还可能住着一些嬉皮士,胡子头发长得老长,根本不需要任何理发师。对其他村庄的这些描述是完全合理的,不会产生任何自相矛盾的结果。但罗素描述的村庄不可能存在。
还有一个机智的悖论涉及英语中的形容词,称作非自状悖论(heterological paradox)或格雷林悖论(Grelling's paradox)。想一想English(意为“英语的”)这个词。English是一个英语词。然而相比之下,French(意为“法语的”)却不是一个法语词(它是一个英语词)。让我们将视线转向其他形容词,看看它们是如何指涉自身的:polysyllabic(意为“多音节的”)是多音节的。monosyllabic(意为“单音节的”)不是单音节的。pentasyllabic(意为“有5个音节的”)有5个音节。misspelled(意为“拼错的”)没有拼错。adjectival(意为“形容词性的”)是形容词性的。female(意为“雌性的”)不是雌性的
。awkwardnessfull(意为“笨拙,累赘的”)是笨拙、累赘的
。unpronounceable(意为“无法发音的”)不是无法发音的。实际上,我们有两类形容词:一类是描述自身的,另一类是不描述自身的。所有描述自身的形容词都被称作是自状的(autological,来自希腊语单词auto和logos,前者意为“自己”或“自身的”,后者意为“词”“言语”或“推论”;亦称homological)。相比之下,所有不描述自身的形容词都被称作是非自状的(heterological,来自希腊语单词heteros,意为“其他的”或“不同的”)。所以English、polysyllabic、adjectival等单词都是自状的形容词。相比之下,French、monosyllabic、unpronounceable等单词都是非自状的形容词。建立了这两个类群之后,我们现在可以提出下面这个问题:
heterological这个形容词是非自状的吗?
让我们假设heterological是非自状的。那么参照
English是英语的
English是自状的,
于是:
heterological是非自状的
heterological是自状的。
因此heterological不是非自状的。相比之下,如果我们一开始就采取相反的态度,认为heterological不是非自状的,那么我们只要参照
French不是法语的
French是非自状的,
于是:
heterological不是非自状的
heterological是非自状的。
我们得到的结论是,当且仅当heterological这个词不是非自状的时候,它才是非自状的。哎呀!这真是个令人棘手的矛盾。
我们可以在图2-2中将这个自指悖论表示出来。
![](https://book.img.zhangyue01.com/group62/nL/JS/018ec53f77c9882bde67c8eb3326852c.jpg?v=M2Z_508O&t=fwAAAWZJaI8.)
图2-2 heterological属于哪个子集?
这个悖论似乎也存在一个简单的解决方案:heterological这个词不存在,或者说即使这个词存在,它也没有任何意义。我们已经看到,如果有人定义了heterological,那么矛盾就会立即产生。为了解决这个矛盾,可以说这个词不存在,就像说理发师悖论中的村庄不存在一样。
然而,并非我们随便挥挥手,宣布heterological这个词不存在或者没有意义,就可以解决所有问题。这个问题深深地根植于语言的本质。与其关注heterological这个词,不如思考与它有关的一个形容词性短语,“与自身不符的”(not true of itself)。你只需要问一问“与自身不符的”是否符合自身。只有它不符合自身时,它才与自身符合。我们只需要假设“与自身不符的”不是合理的形容词性短语就万事大吉了吗?这个短语里的任何一个字都没有问题。和heterological这个词相比,这个短语没有任何类似的怪异之处。然而,当我们使用它时仍然会遭遇矛盾。
图书目录悖论 (reference-book paradox)与非自状悖论非常相似。图书目录也是一种书,它按照不同的分类将一批图书罗列出来。图书目录有很多本,而且会列出许多不同类型的书。有的图书目录罗列的是古代典籍,有的是人类学图书,有的是关于挪威动物区系的图书等。有些图书目录会把自己也列出来。例如,如果有人要出版一本将有史以来出版过的所有图书都列出来的图书目录,它一定会将自己包括进来。还有一些图书目录不会将自己列出来。例如,关于挪威动物区系的图书目录就不会将自己列出来。设想一下,如果存在这样一本图书目录,它列出了所有不列出自己的图书目录。现在问问自己下面这个简单的问题:这本书列出自己吗?只需要稍微想一想就知道,只有在这本书不列出自己的时候,它才列出自己。我们的结论是,不可能存在这样的图书目录,令其内容符合这条规则。(关于这个悖论,也可以画出与图2-1和图2-2类似的图示,我把这个任务留给读者,试一试吧。)
伯特兰·罗素使用理发师悖论解释了一个更加严肃的悖论,即 罗素悖论 (Russell's paradox)。它比我们见到的其他自指悖论更加抽象,很值得思考。假设存在不同的集合:所谓集合即由一系列对象组成的合集。某些集合只包括简单的元素,而某些集合包括其他集合。例如,一所学校可以看作一个集合,由不同的年级组成,而每个年级也是一个集合,组成元素是该年级的学生。某些集合甚至包含自身。本书列出的所有集合构成的集合包含自身。元素数量超过5个的所有集合构成的集合包含自身。当然,也有很多集合不包含自身。例如,设想一下由所有红苹果构成的集合。它不包含自身,因为一个红苹果不是集合。罗素想让我们假设这样一个集合 R ,它包含了所有不包含自身的集合。现在提出下面这个问题:
R 包含自身吗?
一方面,如果 R 的确包含自身,那么根据 R 的定义,它不会被 R 包含。另一方面,如果 R 不包含自身,那么它满足属于 R 的条件,因此包含在 R 内。我们推出了矛盾。这种情形可以用图2-3表示。
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图2-3 集合 R 属于哪个部分?
通常情况下,这一悖论的“解决”方案是假定集合
R
不存在——也就是说,由所有不包含自身的集合组成的集合不是一个合法的集合。如果你要讨论这个不合法的集合,你就是在超越理性的界限。但是我们为什么不能讨论集合
R
呢?它对构成自身的对象进行了完美无瑕的描述,找不出一丁点问题。它看上去当然很像是个合法的集合。然而为了根除矛盾,我们必须约束自己。对于每一种清晰的描述而言,符合这种描述的所有事物都能组成一个集合,这种显而易见(而且似乎非常合理)的观念不再那么显而易见(或者合情合理)。对于“红色的物体”这种清晰的描述,存在一个包含所有红色物体的集合。然而,对于“所有不包含自身的集合”这样看似清晰的描述,却不存在符合这一性质的集合。我们必须调整我们的认知,重新审视哪些事物是显而易见的。
说谎者悖论可以概括成一句话:
这个句子是假的。
它还可以概括成下列描述:
一个否定自身的句子。
与之类似,其他4种自指悖论可以概括成下列4种描述。
•“给所有不自己刮胡子的村民刮胡子的村民。”
•“描述所有不描述自身的词汇的词。”
•“列出所有不列出自身的图书的图书目录。”
•“包含所有不包含自身的集合的集合。”
如你所见,所有这些描述都拥有完全一样的结构(亦如图2-1至图2-3所示)。每当存在自我指涉时,都会有产生矛盾的可能。这些矛盾必须避免,因此需要对此施加限制。我们会在整本书里探讨这样的限制。
在开始下一节之前,还有一个有趣的结果需要我们进一步思索。你可能会认为每一种语言悖论都有某种程度的自我指涉。也就是说,一定存在某种返回起点的环状推理链条。这曾经是普遍观念,直到斯蒂芬·亚布罗(Stephen Yablo)提出了一个机智的悖论,名叫 亚布罗悖论 (Yablo's paradox)。思考由下列句子组成的无穷序列:
K 1 对所有 i >1, K i 为假
K 2 对所有 i >2, K i 为假
K 3 对所有 i >3, K i 为假
…
K m 对所有 i > m , K i 为假
K m +1 对所有 i > m +1, K i 为假
…
K n 对所有 i > n , K i 为假
…
每个句子都声称所有后来的句子为假。注意,没有任何一个句子指涉自身,这一长串链条也不会返回自身的起点。然而矛盾依然存在,因为我们不能说任何一个句子是真的或是假的。设想某一数值 m ,并假设 K m 为真。 K m 声称所有 K m +1 , K m +2 , K m +3 ,…都为假。将其分开,我们得到 K m +1 为假,而所有 K m +2 , K m +3 ,…都为假。然而 K m +1 声称所有 K m +2 , K m +3 ,…都为假,也就意味着 K m +1 为真。因此,通过假设 K m 为真,针对 K m +1 的真假状态,我们得到了矛盾。图2-4表示了这一过程。
![](https://book.img.zhangyue01.com/group62/tn/OW/625039c010352661e0648a1db1b0325d.jpg?v=DRialPxs&t=fwAAAWZJaI8.)
图2-4 亚布罗悖论——假设为真
相反,对于任意数值 m ,我们假设 K m 为假。那就意味着,若 n > m ,则并非所有的 K n 都为假,至少存在一个大于 m 的 n 令 K n 为真。但是我们看到,如果 K n 为真,那么就会得到如图2-5所示的矛盾。
![](https://book.img.zhangyue01.com/group62/0n/zq/7c26a087fbaa769c54624a6712ef383b.jpg?v=P16XfHme&t=fwAAAWZJaI8.)
图2-5 亚布罗悖论——假设为假
无论假设任意一个 K m 为真或为假,我们都会得到矛盾。这是一种不含自我指涉的矛盾。