2.3 描述数的性质
数是我们拥有的最精确的概念。关于42这个数,不存在任何模糊不清、难以确定之处。它不是一个主观概念,否则每个人对42究竟是什么都会有自己的观念。然而我们将看到,即使是对数值概念的描述也依然存在问题。先讲一个小故事。20世纪初,数学家G.H.哈代(G.H.Hardy,1877—1947)前去拜访自己的朋友兼合作搭档,天才的斯里尼瓦萨·拉马努金(Srinivasa Ramanujan,1887—1920)。哈代写道:“我记得有一次他在帕特尼生病时,我去看望他。我是坐出租车去的,那辆出租车的车牌号是1729。我跟他说,在我看来这个数相当无趣,还说但愿这不是什么不好的兆头。‘不,’他回答道,‘这是个非常有趣的数;它是能够用两种方式表示成两个自然数立方之和的最小的数。’”
详细地说,1729等于1
3
+ 12
3
,也等于9
3
+10
3
。既然1729是能够用如此方式表示出来的最小的数,那么1729就是一个“有趣的”数了。
[1]
这个故事揭示了有趣数悖论(interesting-number paradox)。让我们逐个浏览一些比较小的整数。1是有趣的,因为它是第一个正整数。2是第一个素数。3是第一个奇素数。4这个数的有趣之处在于2×2=4=2+2。5是素数。6是完全数,即某个数的因数之和等于它自身(例如6=1×2×3=1+2+3,诸如此类)。开头的这些数都有着有趣的性质。任何没有有趣性质的数都应该被称为“无趣数”。最小的无趣数是什么?最小的无趣数是个有趣的数。我们陷入了窘境。
这里出了什么差错?矛盾之所以产生,是因为我们认为可以将所有的数分成两类:有趣的数和无趣的数。这是错的。并不存在某种方法来定义什么是有趣的数。这是个模糊的陈述,我们不能说某个数在什么时候是有趣的,在什么时候是无趣的。
“有趣”是某个人在理解某件事之后产生的感觉,因此是一种主观性质。我们不能从这样的主观性质中得到悖论。
贝里悖论 (Berry paradox)是一项更严肃也更有关联的悖论。理解这一悖论的关键是,通常来说,英语里某个短语中使用的单词数量越多,它能够表示的数就越大。可以用一个词表示的最大的数是90(ninety)。91(ninety one)需要不止一个单词。两个单词可以表示90万亿(ninety trillion)。90万亿零1是此后所有必须用超过两个单词表示的数中的第一个。3个单词可以表示90万亿个万亿(ninety trillion trillion)。下一个数(90万亿个万亿零1)需要3个以上的单词表示。相似地,单词中的字母越多,能够描述的数就越大。3个字母就能描述10(ten),但是描述不了11(eleven)。
让我们专注于单词的数量,并将描述数的性质且英语单词数量少于11个的短语称为 贝里短语 (Berry phrase)。现在思考下面这个短语:
the least number not expressible in fewer than eleven words
(使用少于11个单词便无法描述出来的最小的数)
这个短语有10个单词,所以它应该是一个贝里短语。然而看一看它所描述的数吧。这个数应该是无法用少于11个单词描述的。这个数可以用11个或更少的单词描述出来吗?这可是个货真价实的矛盾。
我们还可以探讨表示语言复杂程度的其他衡量标准。思考:
the least number not expressible in fewer than fifty syllables
(使用少于50个音节便无法描述出来的最小的数)
这个短语的音节少于50个。另一个短语,
the least number not expressible in fewer than sixty letters
(使用少于60个字母便无法描述出来的最小的数)
拥有59个字母。这些短语是否描述了数的性质呢?如果它们的确描述了数的性质,那它们描述的是哪些数呢?当且仅当它们不描述某个特定数的时候,它们才描述了这个数。但是为什么不呢?每个短语看上去都是非常合适的修饰性短语。
还有一个有趣的悖论和描述数的性质有关,它就是 理查德悖论 (Richard's paradox)。某些短语描述的是0和1之间的实数。例如:
•“π减去3”≈0.14159;
•“掷骰子时得到数字3的概率”=1/6;
•“π除以4”≈0.785;
•“0和1之间的实数,按照十进制展开为0.55555”=0.55555。
我们将所有此类短语称为 理查德短语 (Richard phrase)。我们即将描述一个能推导出悖论的句子。但是在直接给出这个长句子之前,让我们先一步一步来。思考下面这个短语:
介于0和1之间的实数,且不同于任何理查德短语
如果这个短语描述了某个数,它就会成为悖论,因为它描述了数的性质,然而又不是理查德短语。然而,有很多实数的性质不同于任何理查德短语。它是哪一个呢?问题出在上面的短语并不真的描述任何一个确切的数。让我们试着更精确一些。理查德短语构成的集合是所有短语的子集,因此它们可以像电话簿里的名字一样编号排序。可以先给所有包含1个单词的理查德短语排序,再给包含2个单词的短语排序,以此类推。拥有这样一张编号清单之后,就可以指定第 n 个理查德短语了。现在思考下面这个短语:
位于0和1之间的实数,其第 n 位数字不等于第 n 个理查德短语的第 n 位数字
这个短语只是展示了这个数如何不同于所有理查德短语,但它仍然没有描述一个确切的数。第42个理查德短语描述的数在第42位上的数字可能是8,因此我们知道上述短语描述的数在第42位上不能是8。但是这个数字应该是9或是6吗?让我们明确一下:
位于0和1之间的实数,其第 n 位数字等于9减去第 n 个理查德短语的第 n 位数字
也就是说,如果相应的第
n
个理查德短语的第
n
位数字是5,那么这个短语描述的数的第
n
位数字就是4。如果相应的第
n
位数字是8,这个第
n
位数字就是1。如果相应的第
n
位数字是9,这个第
n
位数字就是0。这个短语是个合情合理的短语,并且精确地描述了一个位于0和1之间的实数,然而它又和每一个理查德短语不同。当且仅当它不描述某个数时,它才描述某个数。这可怎么办呢?
最后这两个悖论可以看成自指悖论。在某种程度上,它们可以总结成以下两句描述:
•“和所有贝里短语都不同的贝里短语”;
•“和所有理查德短语都不同的理查德短语”。
从这个角度出发,它们只不过是说谎者悖论的简单延伸。自我指涉十分常见,我们必须小心对待。
[1] 迈克尔·巴尔向我指出,只有在仅限于正整数的情况下,1729才是满足该条件的第一个数。如果允许负整数出现,那么91=6 3 +(−5) 3 =4 3 +3 3 。