2.1 极限的概念

2.1.1 数列的极限

1.数列

数列 是指对自变量为正整数的函数 u n = f （ n ） （ n =1，2，3，…）的函数值按自变量 n 由小到大的顺序排列成一列数：

记作 { u n }。其中 u n 为数列 { u n }的通项或一般项。由于一个数列 { u n }完全由一般项 u n 所确定，故经常把数列 { u n }简称为数列 u n 。如果数列 u n = f （ n ）中的 n →∞时，我们称之为无穷数列；如果数列 u n = f （ n ）中的 n 只是一个具体数值，我们称之为有穷数列。

现在观察几个无穷数列 u n = f （ n ），并判定它们当自变量 n 无限增大时的变化趋势。

（1） 数列 ，…

当自变量 n 无限增大时， 的值越来越小（单调下降）无限接近于常数0。

（2） 数列 ，…

当自变量 n 无限增大时， 的值越来越大（单调上升）无限接近于常数1。

（3） 数列 ，…

当自变量 n 无限增大时， 的值随着 n 的增大从0的两侧无限接近于常数0。

可以看出，当自变量 n 无限增大时，上述的三个数列所具有的共同特征是 u n 的值都会趋向于某个常数 A 。

（4） 数列{（-1） n +1 n }：1，-2，3，-4，…，（-1） n +1 n ，…

当自变量 n 无限增大时， u n =（-1） n +1 n 的值的绝对值是无限增大的。

（5） 数列{（-1） n +1 }：1，-1，1，-1，…，（-1） n +1 ，…

当自变量 n 无限增大时， u n =（-1） n +1 的值在1和-1之间跳动，没有固定的变化趋势。

可以看出，当自变量 n 无限增大时，上述两个数列不会趋向于某个常数 A 。

2.数列极限

定义2.1 对于数列 { u n }，如果当 n 无限增大时， u n 趋向于某个常数 A ，则称当 n 趋于无穷大时，数列 { u n }以 A 为极限。记作

也称数列 { u n } 收敛于 A 。如果数列 { u n }没有极限，就称数列 { u n }是 发散的 。

这个式子读作“当 n 趋向于无穷大时， u n 的极限等于 A ”。符号“→”表示“趋向于”，“ n →∞”表示“ n 趋向于无穷大”，就是 n 无限增大的意思。

例2.1 观察下列数列的变化趋势，写出它们的极限。

解 （1）当 n 依次取1，2，3，4，…时，数列的各项顺序为

当 n →∞时， 正负交错，但其绝对值越来越小趋向于 0，即 u n →0。故 =0。

（2）当 n 依次取1，2，3，4，…时，数列的各项顺序为

当 n →∞时， u n =3的值永远都是常数3，即 u n =3。故 =3。

一般地，任何一个常数列的极限都是这个常数本身，即 = C （ C 为常数）。

（3）当 n 依次取1，2，3，4，…时，数列的各项顺序为

当 n →∞时， 的值在0，1，0，1点来回摆动，不趋向于某个固定的常数，此时我们说 不存在。

定理2.1 （单调有界原理） 单调有界数列必有极限。

2.1.2 函数的极限

通过上面我们对数列极限的介绍，对“极限”的概念已有了足够的认识，即已知函数 f （ x ），当 x 取自然数时，得数列 u n = f （ n ）。讨论数列 u n = f （ n ）的极限就是研究当 n 越来越大时， f （ n ）变化趋势如何？在此，我们在数列极限的基础上进一步研究函数 f （ x ）的极限问题，也就是探讨当 x 在某一变化过程中，函数 f （ x ）是如何变化的？

1.当 x →∞时，函数 f （ x ）的极限

考察函数 ，当 x →∞时的变化趋势。由图2-2可以看出，当自变量 x 取正值并无限增大（即 x 趋向于正无穷大）时，函数 的值无限接近于 0。根据这种变化趋势，我们说当 x 趋向于正无穷大时，函数 的极限为 0，记作 。

同样地，当自变量 x 取负值并且它的绝对值无限增大（即 x 趋向于负无穷大）时，函数 的值也无限接近于 0。于是我们说，当 x 趋向于负无穷大时，函数 的极限为0。记作 。

由此可以看出，当 x →∞（它包含 x →+∞和 x →-∞两种情况）时，函数 。

定义2.2 设函数 f （ x ）对于任意大的 x 有定义，如果当 x 的绝对值无限增大（即 x →∞）时，函数 f （ x ）无限的趋近于一个确定的常数 A 。那么则称当 x →∞时，函数 f （ x ）以 A 为极限。记作

在定义中，如果只考虑 x →+∞的情形，就记作

如果只考虑 x →-∞的情形，就记作

显然， 。

例2.2 求 。

解 分析函数2 x ，当 x →-∞时，其值越来越小趋向于 0，如图 2-3 所示，可得 =。

例2.3 讨论当 x →∞时，函数 y =arctan x 的极限。

解 观察图2-4所示可得： 。

由于 不存在。

2.当 x → x 0 时，函数 f （ x ）的极限

为了便于理解 x → x 0 时，函数 f （ x ）极限的定义，我们先从图2-5和图2-6中观察两个具体的函数， f （ x ）= x +1和 。

不难看出，当 x →1时，无论 x 在1左或右的那侧靠近1， f （ x ）和 g （ x ）都无限接近于2。要特别注意函数 f （ x ）= x +1与 g （ x ）= 是两个不同的函数， f （ x ）在 x =1处有定义， g （ x ）在 x =1处没有定义。这就是说，当 x →1时， f （ x ）和 g （ x ）的极限是否存在与其在 x =1处是否有定义无关。

定义 2.3 设函数 y = f （ x ）在点 x 0 的某个空心邻域（点 x 0 本身可以除外）内有定义，当自变量 x 在该邻域内无限接近于点 x 0 时，相应的函数 f （ x ）无限趋近于某个常数 A ，则称当 x 趋于 x 0 时，函数 f （ x ）以 A 为极限。记作

由定义2.3 可见，l x i →1 m（ x +1）=2， 。

根据极限定义，我们可以看到 ： （ C 为常数）。

3.左极限与右极限

定义 2.4 设函数 y = f （ x ）在点 x 0 左侧的某个邻域（点 x 0 本身可以除外）内有定义，当自变量 x （ x ＜ x 0 ）在该邻域内无限接近于点 x 0 时，相应的函数 f （ x ）无限趋近于某个常数 A ，则称 A 为函数 f （ x ）在点 x 0 处的 左极限 。记作

设函数 y = f （ x ）在点 x 0 右侧的某个邻域（点 x 0 本身可以除外）内有定义，当自变量 x （ x ＞ x 0 ）在该邻域内无限接近于点 x 0 时，相应的函数 f （ x ）无限趋近于某个常数 A ，则称 A 为函数 f （ x ）在点 x 0 处的 右极限 。记作

例2.4 设函数 ，画出该函数的图像，求 ，并讨论 是否存在。

解 函数 f （ x ）的图像如图2-7所示，由图中可以看出：

所以 不存在。

例2.5 设 ，画出该函数的图像，求 ，并讨论 是否存在。

解 函数 f （ x ）的图像如图2-8所示，结合图像分析可得：

同时可得 。

请思考： 由左右极限定义及上述的两个例子，你对极限与左右极限存在所具有的关系有什么想法？

定理2.2 = A 的充要条件是 。

例2.6 判断 是否存在。

解 当 x ＞0趋近于0时，即 x →0 + ， →+∞， →+∞，则 =+∞；

当 x ＜0趋近于0时，即 x →0 __ ， →-∞， 0，则 =0。

由于左极限存在，右极限不存在，故 不存在。

2.1.3 极限的性质

由上述数列极限和函数极限的定义中可以看出，它们描述的问题都是：自变量在某一变化过程中，函数值无限趋近某个常数。因此，它们有一系列的共性，下面以 x → x 0 为例给出函数极限的性质。

性质1 （唯一性） 若极限 存在，则极限值唯一。

即 = B ，则 A = B 。

性质2 （有界性） 若极限 存在，则函数 f （ x ）在 x 0 的某个空心邻域内有界。

性质3 （保号性） 若 ，且 A ＞0 （或 A ＜0），则在点 x 0 的某个空心邻域（点 x 0 本身可以除外）内，有 f （ x ）＞0 （或 f （ x ）＜0）。

推论 若在点 x 0 的某个空心邻域（点 x 0 本身可以除外）内， ，且 f （ x ）≥0（或 f （ x ）≤0），则 A ≥0（或 A ≤0）。

性质 4 （夹逼准则） 如果函数 f （ x ）， g （ x ）， h （ x ）在同一变化过程中（ x → x 0 ），满足 g （ x ）≤ f （ x ）≤ h （ x ），且 ，那么 = A 。

从直观上看，该准则是显然的，当 x → x 0 时，函数 g （ x ）、 h （ x ）的值趋于常数 A ，而夹在 g （ x ）与 h （ x ）之间的函数 f （ x ）的值也趋近于常数 A ，即 = A 。对于极限的上述 4个性质，若把 x → x 0 换成自变量 x 的其他变化过程，有类似的结论成立。

习题2.1

1.观察下列数列的一般项 u n ，写出它们的极限。

2.画出下列函数的图像并考察当 x →0时函数的极限是否存在。