2.2 无穷小量与无穷大量

2.2.1 无穷小量

有一类函数自变量在某个变化过程中，其函数值的绝对值可以无限变小，趋向于零，这样的函数在微积分中很重要，我们称之为无穷小量。

1.无穷小的定义

定义2.5 极限为零的变量称为在其变化过程中的 无穷小量 ，简称 无穷小 。

如果 =0，则变量 α （ x ）是 x → x 0 时的无穷小；如果 =0，则变量 β （ x ）是 x →∞时的无穷小。

例2.7 自变量 x 在怎样的变化过程中，下列函数为无穷小。

(1 2) y =2 x -1;(3) y =sin x ;(4 .

解 （1）因为 ，所以当 x →∞时， 为无穷小。

（2）因为 =0，所以当 时， y =2 x -1为无穷小。

（3）因为 =，所以当 x →kπ时， y =sin x 为无穷小。

（4）因为 =0，所以当 x →+∞时， 为无穷小。

我们常用 α ， β ， γ 来表示无穷小量。无穷小是有极限变量中最简单而且最重要的一类，因此在理解无穷小概念时，应注意下面几点。

（1） 无穷小量是以零为极限的变量，它表达的是量的变化状态，而不是量的大小。不要把一个很小的数误认为是无穷小。例如10 -20 这个数很小，但它不以0为极限，所以不是无穷小量。只有数0是唯一可以作为无穷小的常数。

（2） 无穷小量是与极限过程相联系的。某个函数是无穷小量，应指出它的极限过程，因为在其他过程中则不一定是无穷小量。例如当 x →∞时， 是无穷小量；而当 x →0时， 则不是无穷小量。

（3） 无穷小量对数列也适用。例如数列 ，当 n →∞时也是无穷小量。

2.极限与无穷小之间的关系

设 = A ，即当 x → x 0 时，函数 f （ x ）无限接近常数 A ，也就是说 f （ x ）-A无限接近于 0，即 =0，这就是说当 x → x 0 时， f （ x ）-A 为无穷小。若记 α （ x ）= f （ x ）-A，则有 f （ x ）=A+ α （ x ）。于是有下面的定理。

定理2.3 （极限与无穷小之间的关系） = A 的充要条件是 f （ x ）=A+ α （ x ），其中 α （ x ）是 x → x 0 时的无穷小。

定理2.3中的自变量 x 的变化过程换成其他任何一种情形（ x → x 0 - ， x → x 0 + ， x →∞， x →+∞， x →-∞）后仍然成立。

3.无穷小量的性质

性质1 有限个无穷小的代数和仍是无穷小。

性质2 无穷小与无穷小的乘积仍是无穷小。

性质3 常数与无穷小的乘积仍是无穷小。

性质4 无穷小与有界变量的乘积仍是无穷小。

例2.8 求 。

解 因为 ≤1，所以 为有界函数；又因为当 x →0时， x 2 是无穷小量，因此 仍为当 x →0时的无穷小，即 。

由以上的性质中可以看出，无穷小与无穷小的和、差、积仍是无穷小，但两个无穷小之商未必是无穷小。例如当 x →0时， x 与2 x 都是无穷小，但 ，则不是 x →0时的无穷小。

4.无穷小的阶

下面我们观察两个无穷小的商。

例如， x →0时， α =2 x ， β = x 2 ， γ =3 x 2 都是无穷小，但它们的商不一定是无穷小。

可见，两个无穷小的商可以是常数，也可以是无穷小，甚至可以是无穷大。比的极限不同，反映出了无穷小趋近于零的速度的差异，为了比较无穷小趋向于零的快慢，我们引入无穷小阶的概念。

定义2.6 设 α ， β 是同一变化过程中的两个无穷小量。

（1） 若 ，则称 α 是 β 的 高阶无穷小量 ，也称 β 是 α 的 低阶无穷小量 ；

（2） 若 （ C 为常数，且 C ≠0， C ≠1），则称 α 与 β 是 同阶无穷小量 。

特别地，当 C =1时，则称 α 与 β 是 等价无穷小量 ，常记作 α ～ β 。

由定义可知，3 x 2 是2 x 的高阶无穷小；3 x 2 与 x 2 是同价无穷小。

等价无穷小在求两个无穷小之比的极限时，有着重要作用。下面是几个常用的等价无穷小：

当 x →0时，有

sin x ～ x ;tan x ～ x ;arcsin x ～ x ;arctan x ～ x ;

1-cos x ～ ln (1+ x )～ x ;e x -1～ x .

2.2.2 无穷大量

与无穷小相反，有一类函数在变化过程中绝对值可以无限增大，我们称它为无穷大量。 1.无穷大量的定义

定义 2.7 若自变量 x 的某个变化过程中，函数 y = f （ x ）的绝对值 f （ x ）无限增大，则称 f （ x ）为该自变量变化过程中的 无穷大量 ，简称为 无穷大 。记作

如果 f （ x ）是 x → x 0 时的正无穷大，记作

如果 f （ x ）是 x → x 0 时的负无穷大，记作

对于自变量 x 的其他变换过程中的无穷大，正无穷大、负无穷大可以用类似的方法描述。

和无穷小类似，在理解无穷大的概念时，同样应注意以下几点。

（1） 无穷大量是表达量的变化状态，而不是量的大小。不要把一个很大的数误认为是无穷大。

（2） 无穷大量是极限不存在的一种情形，这里借用极限的记号，但并不表示极限存在。

（3） 无穷大量是与极限过程相联系的。某个函数是无穷大量，应指出它的极限过程。

（4） 无穷大量对数列也适用。

2.无穷大与无穷小的关系

定理2.4 （无穷大与无穷小关系） 在自变量的某个变化过程中，无穷大的倒数是无穷小，恒不为零的无穷小的倒数是无穷大。

例2.9 自变量 x 在怎样的变化过程中，下列函数为无穷大。

(1 2) y =ln x ;(3 4) y =2 x .

解 （1）因为 ，即 x →1时， x -1为无穷小，所以 为 x →1时的无穷大。

（2） 由图 2-9 所示可知： x →0 + 时，ln x →-∞，即 ； x →+∞ 时，ln x →+∞，即 。所以当 x →0 + 及 x →+∞时，都有 y =ln x 为无穷大。

（3） 因为 x →0 + 时， →0，所以 y = 为 x →0 + 时的无穷大。

（4）因为 x →+∞时，2 x →+∞，所以 y =2 x 为 x →+∞时的无穷大。

习题2.2

1.指出下列变量中，哪些是无穷小，哪些是无穷大。

2.将 f （ x ）表示为一个常数与无穷小之和。

3.当 x →0时，下列函数是 x 的什么无穷小？