2.4 函数的连续性

在现实生活中有许多的量是连续变化的，如水的连续流动、植物的生长、放射性物质的衰减等。自然界的许多连续变化的现象在函数关系上的反映，就是函数的连续性。它是与函数极限密切相关的一个基本概念。

2.4.1 函数连续性的概念

首先我们引入增量概念。

1.函数的增量

定义2.8 设变量 u 从它的初值 u 0 变到终值 u 1 时，终值与初值之差 u 1 -u 0 叫做变量 u 的增量，也可叫做 u 的改变量，记作Δ u ，即

增量Δ u 可正、可负，也可为零。当 u 1 ＞ u 0 时，Δ u 为正；当 u 1 ＜ u 0 时，Δ u 为负。

应当注意：Δ u 是一个完整的记号。变量 u 可以看作是自变量 x ，也可看作是函数 y 。如果是自变量 x ，则称Δ x = x 1 -x 0 为自变量的增量；如果是函数 y ，则称Δ y = y 1 -y 0 为函数的增量。

设函数 y = f （ x ）在 x 0 的某邻域内有定义，当自变量 x 在由 x 0 变到 x 0 +Δ x 时，函数 y 相应地由 f （ x 0 ）变到 f （ x 0 +Δ x ），因此，相应函数增量为Δ y = f （ x 0 +Δ x ） -f （ x 0 ）。

其几何意义如图2-11所示。

例2.28 设 y = f （ x ）=2 x 2 -1，求适合下列条件的自变量的增量Δ x 和函数的增量Δ y 。

（1）当 x 由1变到0.5时；（2）当 x 由 x 变到 x +Δ x 时。

解 （1）Δ x =0.5-1=-0.5

(2)Δ x =( x +Δ x ) -x =Δ x

2.函数连续性的定义

（1） 函数 y = f （ x ）在点 x 0 的连续性

观察曲线 y = f （ x ）在 x = x 0 处是连续（不间断）的（见图2-12），而曲线 y = g （ x ）在 x = x 0 处是不连续（断开）的（见图2-13）。当自变量 x 的增量Δ x →0 + 时，函数 y = f （ x ）的相应增量Δ y →0；而 y = g （ x ）的相应增量Δ y 不是趋近于 0，于是我们用增量来定义函数的连续性。

定义 2.9 设函数 y = f （ x ）在点 x 0 的某一邻域内有定义，如果当自变量 x 在点 x 0 处的增量Δ x 趋近于零时，函数 y = f （ x ）相应的增量

也趋近于零，即

则称函数 y = f （ x ）在点 x 0 处 连续 ，点 x 0 叫做 f （ x ）的 连续点 。

例2.29 证明 y =sin x 在点 x 0 处连续。

证 因为函数 y =sin x 的定义域为（-∞，+∞），所以函数在 x 0 的邻域内有定义，则

因为Δ x →0时， 为无穷小， 有界，故

所以函数 y =sin x 在点 x 0 处连续。证毕。

请思考 ：在定义2.9中，如果设 x = x 0 +Δ x ，又有什么样的结论？

如果设 x = x 0 +Δ x ，则Δ y = f （ x ） -f （ x 0 ）。当Δ x →0，即 x → x 0 时，有Δ y →0，即 f （ x ） -f （ x 0 ）→0。也就是 =0，即 = f （ x 0 ）。

因此，函数 y = f （ x ）在点 x 0 处连续的定义又可如下表述。

定义2.10 设函数 y = f （ x ）在 x 0 的某一邻域内有定义，如果当 x → x 0 时，函数 f （ x ）的极限存在，且极限值等于 f （ x ）在点 x 0 处的函数值 f （ x 0 ），即

则称函数 y = f （ x ）在点 x 0 处 连续 。

定义2.10指出了函数 y = f （ x ）在点 x 0 处连续必须同时满足三个条件：

① 函数 f （ x ）在点 x 0 的某一邻域内有定义；

② 存在；

③ ，即上述极限值等于该点的函数值 f （ x 0 ）。

如果上述条件中至少有一个不满足，那么函数 f （ x ）在点 x 0 处就不连续，这时点 x 0 就是函数 f （ x ）的 间断点 。

定义2.11 （间断点的分类） 设 x 0 为函数 f （ x ）的一个间断点，如果当 x → x 0 时，有：

① 存在，但不等于 f （ x ）在 x 0 处的函数值 f （ x 0 ），则称 x 0 为 f （ x ）的 可去间断点 ；

② 不存在，而 存在，但不相等，则称 x 0 为 f （ x ）的 跳跃间断点 ；

③ =∞或左右极限至少有一个不存在，则称 x 0 为 f （ x ）的 无穷间断点 。

我们又把①、②两种情况的间断点称为 第一类间断点 ；第③种情况的间断点称为 第二类间断点 。

例2.30 考察函数 在点 x =-1处的连续性。

解 函数 y = f （ x ）的定义域为（-∞，+∞），因此

而 f （-1）=2，所以，有 =-2≠ f （-1），即 x =-1是 f （ x ）的可去间断点。如图2-14所示。

例2.31 考察函数 在 x =1处的连续性。

解 函数 y = f （ x ）的定义域为（-∞，+∞），因此

因为 ，所以 不存在，可知 x =1是间断点，且是 f （ x ）的跳跃间断点。如图2-15所示。

例2.32 考察函数 在点 x =-1处的连续性。

解 因为 在 x =-1处没有定义，所以 x =-1是 f （ x ）的一个间断点。又因为 =∞，所以点 x =-1为函数 f （ x ）的无穷间断点，如图2-16所示。

例2.33 求 f （ x ）= 的间断点，并说明理由。

解 因为函数 在 x =1， x =2处没有定义，所以 x =1， x =2是函数 f （ x ）的间断点。

当 x →1时：

极限存在，但不等于该点的函数值，所以点 x =1为 f （ x ）的可去间断点。

当 x →2时：

所以点 x =2为 f （ x ）的无穷间断点。

（2） 函数 f （ x ）在区间（ a ， b ）上的连续性

定义 2.12 如果函数 f （ x ）在区间（ a ， b ）内每一点都连续，那么称函数 f （ x ）在开区间（ a ， b ）内连续，区间（ a ， b ）称为 函数 f （ x ） 的连续区间 。

如果函数 f （ x ）在（ a ， b ）内连续，且 ，则称 f （ x ）在闭区间[ a ， b ]上连续。

连续函数的图像是一条连续不断的曲线，允许有折痕或突起。

2.4.2 初等函数的连续性

1.连续函数的和、差、积、商的连续性

如果函数 f （ x ）和 g （ x ）在点 x 0 处连续，则 f （ x ）± g （ x ）， f （ x ） g （ x ）， （ g （ x 0 ）≠0）在点 x 0 处连续，即

我们只证明 f （ x ）± g （ x ）在点 x 0 处连续，其余由读者自证。

证 因为函数 f （ x ）和 g （ x ）在点 x 0 处连续，所以有

设 F （ x ）= f （ x ）± g （ x ），则：

所以函数 F （ x ）在点 x 0 处连续，即 f （ x ）± g （ x ）在点 x 0 处连续。证毕。

2.复合函数的连续性

定理2.6 设函数 u = φ （ x ）在点 x 0 处连续， y = f （ u ）在点 u 0 处连续，且 u 0 = φ （ x 0 ），则复合函数 y = f [ φ （ x ）]在点 x 0 处连续。即

又可写为

式（2.11）表明，在满足定理条件的条件下，求复合函数的极限时，函数符号“ f ”与极限符号“lim”可以交换运算顺序，这一结论给我们求极限带来很大方便。

例2.34 求 。

解 。因为 ，且 是由 y =ln u 和 复合而成的， y =ln u 在 u =e点连续，所以

上式结果可以写成当 x →0时，ln（1+ x ）～ x （无穷小等价代换的一个公式）。

*例2.35 求 。

*例2.36 已知 。

根据上面的讨论，可以得出结论： 一切初等函数在其定义域内都是连续的 。

这样我们在求初等函数在其定义域某点的极限，只需求出初等函数在该点的函数值即可。

例2.37 求 。

解 设 y = ，这是一个初等函数，它的定义域是[-2，2]，而点 x =0在该区域内，所以 。

关于分段函数的连续性，除了考察每段函数连续性外，还必须讨论分段点处的连续性。 例2.38 讨论函数 在 x =0处的连续性，并求函数的连续区间。 解 函数 f （ x ）是一个分段函数， x =0是函数的分段点，那么函数是否在 x =0处连续就要看是否有 。

所以 =1。

当 a ≠1时， ，所以 x =0是函数 f （ x ）的一个可去间断点。又因为分段函数 f （ x ）的定义域为（-∞，+∞），当 x ＜0时 f （ x ）=e x 和 x ＞0时 f （ x ）=2 x +1都是初等函数，因此它们分别在 （-∞，0） 和 （0，+∞） 上连续，所以函数 f （ x ） 的连续区间是（-∞，0） ∪ （0，+∞）。

当 a =1时， = f （0）=1，所以函数 f （ x ）在 x =0处连续，函数 f （ x ）的连续区间为（-∞，+∞）。

2.4.3 闭区间上连续函数的性质

1.最大值与最小值性质

设函数 y = f （ x ）在闭区间[ a ， b ]上连续，如图 2-17 所示，我们可以看到曲线 f （ x ）在[ a ， b ]上至少存在一点 x 1 （ a ≤ x 1 ≤ b ），使得函数值 f （ x 1 ）最大，即 f （ x 1 ）＞ f （ x ）， x ∈[ a ， b ]；同样还至少存在一点 x 2 （ a ≤ x 2 ≤ b ），使得函数值 f （ x 2 ）最小，即 f （ x 2 ）＜ f （ x ）， x ∈[ a ， b ]。

定理2.7 闭区间上连续函数一定存在最大值和最小值。

例如，函数 y =sin x 在[-π，π]上连续，当 x 1 = 时函数取得最小值-1；当 时函数取得最大值1。

应当注意定理2.7中“闭区间”和“连续”是两个重要条件。如果有一个条件不满足，函数在该区间上就不一定有最大值和最小值。

例如 y = x 在开区间（-1，1）内虽然连续，但它既无最大值也无最小值。 在闭区间上[-1，1]上不连续，它没有最大值。

2.介值性质

定理2.8 若函数 f （ x ）在闭区间[ a ， b ]上连续，且 f （ a ）≠ f （ b ）， u 是介于 f （ a ）与 f （ b ）之间的任意一个数，则至少存在一点 ξ ， ξ ∈（ a ， b ），使得 f （ ξ ）= u 。

从几何上看，如图2-18所示，闭区间[ a ， b ]上连续函数 y = f （ x ）的图像从 A 连续画到 B 时，至少要与直线 y = u 相交一次。

特别地，如果 f （ a ）与 f （ b ）异号，那么在开区间（ a ， b ）至少存在一点 ξ ， ξ ∈（ a ， b ），使得 f （ ξ ）=0。

从几何上看，如图2-19所示，曲线 y = f （ x ）的图像从 x 轴下侧的 A 点连续画到 x 轴上侧的 B 点时，至少要与 x 轴相交一次。这表明若方程 f （ x ）=0，其左端的函数 f （ x ）在闭区间[ a ， b ]端点处的两个函数值异号，则该方程在开区间（ a ， b ）内至少存在一个根。

定理2.9 （根的存在定理） 若函数 f （ x ）在闭区间[ a ， b ]上连续，且 f （ a ）与 f （ b ）异号，则至少存在一点 ξ ， ξ ∈（ a ， b ），使得 f （ ξ ）=0。

例2.39 证明方程 x 3 + x -1=0在区间（0，1）上有实根。

证 设 f （ x ）= x 3 + x -1，因为 f （ x ）在（-∞，+∞）上连续，所以 f （ x ）在[0，1]上也连续。而 f （0）=-1＜0， f （1）=1＞0

根据定理2.9可知，至少有一点 ξ ， ξ ∈（0，1），使得 f （ ξ ）=0。

即方程 x 3 + x -1=0在区间（0，1）上有实根。

2.4.4 经济管理中的函数连续性

尽管一些经济函数计数单位可能是“件”、“台”、“个”等离散点，而不是“千克”、“吨”、“米”等可以连续的取量，但在研究经济函数时，都视为连续函数，并作为连续函数进行研究，最后结合实际问题进行相应的“舍”、“入”给出合理的答案。

习题2.4

1.根据定义2.9，证明函数 f （ x ）=3 x 2 -1在点 x =1处连续。

2.求下列函数的间断点，并说明间断点的类型。

3.下列函数在 x =0点是否连续？为什么？

4.求下列函数的极限。

5.设 ，试确定 k 的值，使 f （ x ）在定义域内连续。