《经济数学》

3.1 导数的概念

3.1.1 两个实例

导数的概念来自于对实际问题的分析和研究。

1.变速直线运动的速度

设一物体做直线运动，从某一时刻开始到时刻 t 所经过的位移为 s ，则 s 是时刻 t 的函数 s = s （ t ）。现在来确定物体在某一给定时刻 t 0 的速度。

当时间由 t 0 改变到 t 0 +Δ t 时，物体在Δ t 这段时间内所经过的位移为

因此在Δ t 这段时间内，物体的平均速度为

若物体做匀速运动，平均速度就是物体在任何时刻的速度 v 。若物体的运动是变速的，则当Δ t 很小时，可以近似地表示物体在 t 0 时刻的速度，Δ t 越小，近似程度越好。当Δ t →0时，如果极限存在，则此极限为物体在 t 0 时刻的瞬时速度，即

2.切线问题

什么样的直线是曲线在某点处的切线呢？

设曲线 y = f （ x ）的图像如图3-1所示，点 M 0 （ x 0 ， y 0 ）是曲线的一个定点，在曲线上另取一动点 M （ x 0 +Δ x ， y 0 +Δ y ），作割线 M 0 M ，让点 M 沿曲线向 M 0 移动，则割线 M 0 M 的位置也随之变动，当点 M 沿曲线趋向 M 0 时，割线 M 0 M 趋向于极限位置 ——M 0 T ，则直线 M 0 T 就是曲线在 M 0 点处的切线。

从图3-1中可以看出， M 0 M 的斜率为

图3-1

图3-2

当Δ x →0时，割线的斜率就无限地接近于切线的斜率，所以切线的斜率为

图3-2显示了割线到切线的变化过程。

上面两个例题虽然含义不同，但从抽象的数量关系来看，它们的实质是一样的，都归结为计算函数改变量与自变量改变量的比，当自变量的改变量趋于零时的极限，这种特殊的极限就称为函数的导数。

3.1.2 导数概念

1.导数的定义

定义 3.1 设函数 y = f （ x ）在点 x 0 的某个邻域内有定义，当自变量在点 x 0 处取得改变量Δ x 时，函数 f （ x ）取得相应的改变量Δ y = f （ x 0 +Δ x ） -f （ x 0 ），如果极限存在，则称这个极限值为 f （ x ）在点 x 0 处的导数。记作

并称函数在点 x 0 处可导。

与函数 y = f （ x ）在点 x 0 处的左、右极限概念相似，如果存在，则分别称这两个极限为 f （ x ）在点 x 0 处的左导数和右导数，分别记作。

显然，函数 y = f （ x ）在点 x 0 处可导的充要条件是：函数 y = f （ x ）该点处的左导数与右导数均存在且相等。

如果上述极限不存在，则称 f （ x ）在点 x 0 处不可导。如果极限为无穷大，为方便起见，也称函数在点 x 0 处的导数为无穷大。

如果函数 f （ x ）在某区间（ a ， b ）内的每一点都可导，则称 f （ x ）在区间（ a ， b ）内可导，这时，对于（ a ， b ）内的每一点 x ，都有确定的导数值与它对应，这样就构成了一个新的函数，称为函数 f （ x ）的导函数，记作 f ′（ x ）或 y′ ，。在不致发生混淆的情况下，导函数也简称导数。