3.2 导数计算
3.2.1 求导公式
由前一节的介绍可知，根据导数的定义可以求函数的导数。但是，如果对每一个函数都按导数的定义来求导，其计算将会比较复杂，甚至比较困难。因此，有必要找到一些基本公式与运算法则，借助它们简化初等函数求导计算。
为了运算方便，下面先给出基本初等函数的导数公式，见表3-1所列。这些公式有的在3.1中已经得到，有的将随着导数运算法则的引入而得到，有的可参阅相关教材。
表3-1
例3.9
设函数（1）
y
=
x
10
，（2）
y
=
，（3）
，（4）
y
=log
3
x
，（5）
y
=ln 3，分别求出它们的导数
y
′。
解 由导数公式得
例3.10
（1）设
y
=
，求
；（2）设
y
=log
3
x
，求（log
3
x
）′|
x
=3
解
（1） 由于
，所以
（2） 由于
，所以
3.2.2 函数的和、差、积、商的求导法则
设函数 u = u （ x ）和 v = v （ x ）在 x 处可导，则其和、差、积、商在 x 处也可导。
特别地，（ Cu ） ′ = Cu′ （ C 为常数）
特别地，
（
v
≠0，
C
为常数）
例3.11 求函数 f （ x ）= x 3 +sin x 的导数。
解 f′ （ x ）=（ x 3 ） ′ +（sin x ） ′ =3 x 3-1 +cos x =3 x 2 +cos x 。
例3.12 求函数 f （ x ）=e x cos x 的导数。
解 f′ （ x ）=（e x ） ′ cos x +e x （cos x ） ′ =e x cos x -e x sin x 。
例3.13
求函数
的导数。
例3.14 求函数 f （ x ）=tan x 的导数。
例3.15 求函数 f （ x ）=sec x 的导数。
例3.16 求曲线 y = x ln x 的平行于直线2 x-y +3=0的切线方程。
解 本题切线的斜率间接给出，只要求出切点即可。
设所求切线的切点为（ x 0 ， y 0 ），因曲线为 y = x ln x ，所以
又因直线 2 x-y +3=0的斜率为2，且其与所求切线平行，因此可知所求切线的斜率也为2，故
3.2.3 高阶导数
函数
y
=
f
（
x
）的导数
f′
（
x
）一般也是
x
的函数，对
f′
（
x
）的再求导数，称为
f
（
x
）的
二阶导数
，记作
f
′′（
x
），
y
′′；或
。
类似地，我们还可以继续求导，得到三阶导数 y ′′′，四阶导数 y （4） ，乃至 n 阶导数 y （ n ） 。二阶及二阶以上的导数统称 高阶导数 ，而 f′ （ x ）称为 y = f （ x ）的一阶导数。
由此可知，求高阶导数只要反复应用求一阶导数的方法即可，下面举例说明。
例3.17 已知 y = x 3 +ln x ，求 y ′， y ′′及 y ′′′。
例3.18 求 y = x arctan x 的二阶导数 y ′′
例3.19
设
。
习题3.2
1.求下列函数的导数
2.求下列函数的导数
3.设
，求
f
′（4）。
4.设
，求
f
′（e）。
5.求 f （ x ）= x 3 +2 x 2 在 x =1处的切线及法线方程。
6.曲线
y
=
上哪一点的切线垂直于直线3
x
+
y
+1=0？
7.已知物体的运动规律为 s =2 t 2 + t （m），求这物体在 t =2（s）时的速度。
8.求下列函数的二阶导数
(1) y = x 3 +3 x 2 +2;(2) y = x ·sin x +cos x ;(3) y = x 2 +2 x +ln 2;(4) y = x e x .
