3.5 导数在经济学中的应用

前面我们从实际问题中抽象出了导数的概念，并利用导数的定义求一些函数的导数，现在我们从抽象的概念再回到具体的问题中去。下面介绍变化率和相对变化率。

1.变化率

在实际问题中常把导数称为变化率，因为，对于函数 y = f （ x ）来说，用

表示自变量 x 每改变一个单位时，函数 y 的平均变化量，所以 称为函数 y = f （ x ）的平均变化率。

当Δ x →0时，若 y 可导，则 称为函数 y = f （ x ）的变化率。

2.边际分析

边际概念是经济学中的重要概念，通常指经济函数的变化率。利用导数研究经济变量的边际变化的方法，称为 边际分析方法 。

（1） 边际成本

在经济学中， 边际成本 定义为产量增加一个单位时总成本的增量，即总成本对产量的变化率。

设某产品产量为 q 单位时所需的总成本函数为 C = C （ q ） [ C （ q ）可导]，则产量增加一个单位时总成本的增量Δ C （ q ）为

又由于产量增加一个单位与总产量相比很小，即 很小（Δ q =1）。由微分近似计算可知：

所以 边际成本就是总成本关于产量 q 的导数 。

（2） 边际收入

在经济学中， 边际收入 定义为多销售一个单位产品时总收入的增量，即总收入关于产品销售量 q 的变化率。

设某产品销售量为 q 单位时的总收入函数为 R = R （ q ） [ R （ q ）可导]，则

所以， 边际收入就是总收入关于销售量 q 的导数 。

（3） 边际利润

设某产品销售量为 q 时的总利润函数为 L = L （ q ），当 L （ q ）可导时，称 L ′（ q ）为销售量 q 时的 边际利润 。它近似等于销售量为 q 时再多销售一个单位产品所增加（或减少）的利润。

由于总利润为总收入与总成本之差，即

对上述等式两边求导，得

所以 边际利润为边际收入与边际成本之差 。

边际成本、边际收入、边际利润通常用MC、MR、ML表示。

例3.40 某商品产量为 x （千升）时的成本函数为 C （ x ）= （千元），其中0≤ x ≤5。求 x =1，4时的边际成本，并给以适当的经济解释。

解 边际成本函数 。

当 x =1时，MC=1.5；当 x =4时，MC=0.75

这表明在生产1千升基础上再多生产1千升，需成本1.5千元；在生产4千升基础上再多生产1千升，仅需成本0.75千元，即产量越高，成本越低。

那么生产越多，赚的钱也越多吗？下面再看一个例子。

例3.41 某企业生产一种产品，每天的总利润 L （ x ） （元）与产量 x （kg）之间的函数关系为

求 x =10，25，30时的边际利润，并给以适当的经济解释。

解 边际利润函数ML= L ′（ x ）=250-10 x 。

当 x =10时， L ′（10）=150 （元）。它表示，在每天生产10kg的基础上，再多生产1kg，总利润将增加150元。

当 x =25时， L ′（25）=0 （元）。它表示，在每天生产25kg的基础上，再多生产1kg，总利润几乎没有变化，这1kg产量并没有产生利润。

当 x =30时， L ′（30）=-50 （元）。它表示，在每天生产30kg的基础上，再多生产1kg，总利润就要减少50元。

从本题可以看出并非生产的产品数量越多，利润越高。

例3.42 某商品产量为 x 时的成本函数为 C （ x ）= x 3 -3 x 2 +3 x ，求商品的边际成本和平均成本函数。

解 边际成本函数MC= C ′（ x ）=3 x 2 -6 x +3；平均成本函数 = x 2 -3 x +3。

从图3-7可以看出：在 的区域内， 下降；在MC= 时， 达到最小值；在 的区域内， 上升。就是说： 最低平均成本与相应产量的边际成本相等 （本章只是用图像做直观分析，第4章还会就此做进一步分析）。

3.相对变化率或弹性

上面提到变化率，但仅仅研究函数的绝对变化率是不够的。例如，商品甲、乙的单价分别为10元和1000元，它们各涨价1元，尽管绝对改变量一样，但各与其原价相比，两者涨价的百分比却有很大不同：商品甲涨了10%，而商品乙仅涨了0.1%。因此还须研究函数的相对变化率。

对于函数 y = f （ x ）来说，Δ y 、Δ x 是函数、自变量的绝对改变量。 是函数、自变量的相对改变量。

定义3.3 对于函数 y = f （ x ），当Δ x →0时，如果极限 存在，则称此极限值为函数 f （ x ）在点 x 处的 弹性 ，记作 。

由定义可以知，函数 y = f （ x ）的弹性是函数的相对改变量与自变量的相对改变量比值的极限，它也被称为函数的 相对变化率 ，反映 f （ x ）对 x 变化反应的强烈程度或敏感度。

4.需求弹性

在市场经济中，经常要分析一个经济量对另一个经济量相当变化的灵敏程度，这就是经济量的弹性。一般来说，商品的需求量对市场价格的反应是很灵敏的，刻画这种灵敏程度的量就是需求弹性。

由弹性的一般定义知：需求函数 Q = Q （ p ）（ Q 表示某商品的需求量， p 表示其市场价格）的弹性称为 需求弹性， 记作 ε p 。即

需要说明的是： 根据经济理论可知，需求函数为递减函数，所以 Q ′＜0（有关知识第4章有详细说明），为了用正数表示需求弹性，故式中加了负号。

需求弹性 ε p 表示某商品的需求量 Q 对价格 p 的变动的反应程度：当商品的价格上涨（或下跌）1%时，其需求量将减少（或增加）。

当 ε p ＜1时，称为 低弹性 ，此时需求变动的幅度小于价格变动的幅度，价格变动对需求量的影响不大。

当 ε p ＞1时，称为 高弹性 ，此时需求变动的幅度大于价格变动的幅度，价格变动对需求量的影响较大。

当 ε p =1时，称为 单位弹性 ，此时需求变动的幅度等于价格变动的幅度。

例3.43 某产品滞销，准备通过降价扩大销路。如果该产品的需求弹性在1.7～2.1之间，试问当降价10%时，需求量（销售量）大约增加多少？

根据已知 ，则

当 ε p =1.7时， ；当 ε p =2.1时， 。

所以，需求量（销售量）大约增加17%～21%。

例3.44 设某商品的需求函数为 （ Q 是需求量， p 是价格），求 p =2，4，6时的需求弹性，并给以适当的经济解释。

解 需求弹性为

当 p =2时， ε p =0.5＜1（低弹性），此时价格上涨（或下跌）1%，其需求量减少（或增加） 0.5%。

当 p =4时， ε p =1 （单位弹性），此时价格上涨（或下跌）1%，其需求量减少（或增加）1%。

当 p =6时， ε p =1.5＞1（高弹性），此时价格上涨（或下跌）1%，其需求量减少（或增加） 1.5%。

习题3.5

1.某产品生产 x 单位时总成本 C 是 x 的函数 ，求：

（1） 生产900单位时的总成本和平均成本；

（2） 生产900单位和1000单位时的边际成本。

2.设某厂每月生产的产品固定成本为 1000 元，生产 x 个单位产品的可变成本为0.01 x 2 +10 x 元，如果每单位产品的销售为 30 元，试求：①总成本函数；②总收入函数；③总利润函数；④边际成本；⑤边际收入；⑥边际利润为零时的产量。

3.设 p 为某产品的价格， x 为产品的需求量，且有 p =10-0.1 x 。求边际收入函数及 x =30，50，80时的边际收入，并解释所得结果的经济意义。

4.某企业的成本函数和收入函数如下。

求：（1）边际成本，边际收入，边际利润。

（2）已生产并销售25个单位产品，销售第26个单位产品的利润。

5.设某商品的需求函数为 Q =600-50 p （ Q 是需求量， p 是价格）。求 p =1，6，8时的需求弹性，并给以适当的经济解释。

6.某产品因出口需要，拟用提价的办法压缩国内需求量的20%，如果该产品的需求弹性在1.5～2之间，试问应提价多少？