1.3 反函数

1.3.1 反函数的概念

设某种商品的价格为 p ，销售量为 q ，则销售收入 R 是销售量 q 的函数：

这时 q 是自变量， R 是函数。

若已知收入 R ，反过来求销售量 q ，则有 ，这时 R 为自变量， q 变成了函数。

R = pq 与 是同一关系的两种写法，但从函数的角度来看，由于对应规律不同，它们是两个不同的函数，我们称它们互为反函数。

例如，在函数 y =2 x （ x ∈ R ）中， x 是自变量， y 是 x 的函数；由 y =2 x 可以得到 （ y ∈ R ）， y 是自变量， x 是 y 的函数，此时我们则说 是函数 y =2 x 的反函数。

一般地，函数 y = f （ x ） （ x ∈ D ）中，设它的值域为 M 。我们根据这个函数中 x ， y 的关系，用 y 把 x 表示出来，得到 x = φ （ y ）。如果对于 y 在 M 中的任何一个值，通过 x = φ （ y ）， x 在 D 中都有唯一的值和它对应，那么 x = φ （ y ）就表示 y 是自变量， x 是 y 的函数，这样的函数 x = φ （ y ） （ y ∈ M ）叫做函数 y = f （ x ） （ x ∈ D ）的 反函数 ，记作

在函数 x = f -1 （ y ）中， y 是自变量， x 表示函数。但在习惯上，我们一般用 x 表示自变量， y 表示函数，为此我们常常对调 x = f -1 （ y ）中的字母 x 、 y ，把它们改写成为 y = f -1 （ x ）。我们称 y = f -1 （ x ）是函数 y = f （ x ）的 矫形反函数 ，简称 反函数 （今后凡不特别说明，函数 f （ x ）的反函数都采用这种经过改写的形式）。而 x = f -1 （ y ）为 y = f （ x ）的 直接反函数 ， y = f -1 （ x ）是 y = f （ x ）的 反函数 。

例如 y =2 x 的直接反函数为 ，反函数为 。

1.3.2 互为反函数的函数图像间的关系

如果函数 y = f （ x ） （ x ∈ D ）的反函数是 y = f -1 （ x ），那么在直角坐标系 xOy 中，它们的图像有什么关系呢？

例1.11 求函数 y =3 x -2 （ x ∈ R ）的反函数，并画出原来的函数和它的反函数的图像。

解 由 y =3 x -2得 。因此函数 y =3 x -2 （ x ∈ R ）的反函数是

函数 y =3 x -2和它的反函数 的图像如图1-9所示。

从图1-9中可以看出，函数 y =3 x -2和它的反函数 的图像是关于直线 y = x 对称的。

一般地，函数 y = f （ x ）的图像和它的反函数 y = f -1 （ x ）的图像是关于直线 y = x 对称的。

请思考： y = x 2 和它的反函数 y = 的图像有关系吗？

习题1.3

1.求下列函数的反函数。

(1

(2) y =ln(2 x -1).

2.求函数 y = x 3 （ x ∈ R ）的反函数，并画出该函数与它的反函数的图像。