1.5 常用经济函数

我们知道，函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述。经济函数就是用数学方法解决经济问题，找出经济变量之间的函数关系，建立数学模型。

下面介绍几种常用的经济函数。

1.5.1 需求函数与供给函数

1.需求函数

“ 需求 ”是指在一定条件下，人们愿意购买并且有支付能力购买的商品量。人们对某种商品的需求是由多种因素决定的，如收入、商品的价格、季节、地区等。当我们的目的是研究需求量 Q 与商品价格 p 之间的依赖关系时，常常把需求量的其他影响因素固定在某一常数上，这样需求量 Q 可以看成是价格 p 的一元函数，称为 需求函数 。记作

一般来说，降低商品的价格，需求量增加；提高商品的价格，需求量减少。因此说，需求函数为价格 p 的单调减少函数。

常见的需求函数模型如下。

（1） 线性函数形式： Q = b-ap （ a ＞0， b ＞0）；

（2） 反比函数形式： （ k ＞0， p ≠0）；

（3） 二次函数形式： Q = a-bp-cp 2 （ a ＞0， b ＞0， c ＞0）；

（4） 幂函数形式： （ u ＞0， k ＞0， p ≠0）；

（5） 指数函数形式： Q = a e -bp （ a ＞0， b ＞0）。

需求函数 Q = Q （ p ）的反函数，就是 价格函数 ，记作

价格函数也是一个单调减少函数，也能反映出商品的需求与价格的关系。

2.供给函数

“ 供给 ”是指在一定价格条件下，生产者愿意出售并且有可能提供出售的商品量。

供给与需求是相对的概念，需求是对购买者而言，供给是对生产者而言。供给也是由许多因素决定的，如果略去价格 p 以外的其他影响因素，则商品的供给量 S 也是价格 p 的一元函数，称为 供给函数 ，记作

一般来说，价格上涨，生产者愿意向市场提供更多的商品，使供给量增加；反之，价格下跌，将使供给量减少。因此说，供给函数为价格 p 的单调增加函数。

常见的供给函数模型如下。

（1） 线性函数形式： S = ap-b （ a ＞0， b ＞0）；

（2） 幂函数形式： S = kp u （ u ＞0， k ＞0， p ≠0）；

（3） 指数函数形式： S = ae bp （ a ＞0， b ＞0）。

3.均衡价格与均衡商品量

如果市场上某种商品的需求量恰好等于供给量，则称该商品在市场上处于均衡状态。此时商品的价格称为 均衡价格 ，商品的需求量（或供给量）称为 均衡商品量 。如图1-24所示。

需求曲线 Q = Q （ p ）与供给曲线 S = S （ p ）的交点 E 的横坐标 p = p 0 就是均衡价格，交点 E 的纵坐标 Q = Q 0 （或 S = S 0 ）就是均衡商品量。

当 p ＜ p 0 ，如图1-25中的 p = p 1 处，此时消费者希望购买的商品量 Q 1 大于生产者愿意出售的商品量 S 1 ，即 Q 1 ＞ S 1 ，这时市场出现“供不应求”现象，商品短缺，会形成抢购、黑市等情况，这种状况不会持久，必然导致价格上涨。

当 p ＞ p 0 ，如图1-25中的 p = p 2 处， Q 2 ＜ S 2 ，这时市场出现“供过于求”现象，商品滞销，这种状况也不会持久，必然导致价格下跌。

总之，在货币稳定的环境中，市场上的商品价格将围绕着均衡价格摆动。

例1.17 当鸡蛋收购价格为6.0/kg元时，某收购站每月能收购5 000kg，若收购价格提高0.2元/kg，则收购量可增加400kg。求鸡蛋的线性供给函数。

解 设鸡蛋的线性供给函数为

所求供给函数为

例1.18 已知某种商品的需求函数 Q =10-2 p ，供给函数为 S =5 p -4，求均衡价格 p 0 与均衡商品量 Q 0 。

解 由供需均衡条件 Q = S 可得

解得 p =2，代入 Q =10-2 p 中得 Q =6。所以，均衡价格 p 0 =2，均衡商品量 Q 0 =6。

1.5.2 总成本函数、总收入函数及总利润函数

在生产和产品经营活动中，人们总希望尽可能降低成本，提高收入和利润。而成本、收入和利润这些经济变量都与产品的产量或销售量 q 密切相关，它们都可以看作是 q 的函数。现在我们分别介绍如下。

1.总成本函数与平均成本函数

总成本 是指生产一定数量的某种产品所投入的费用总额。它分为固定成本和可变成本两部分，固定成本与产量 q 无关，如设备维修费、企业管理费用等，常用 C 1 表示；可变成本随产量 q 的增加而增加，如原材料费、动力费等，常用 C 2 表示，记作 C 2 （ q ）。我们称

为 总成本函数 ，其中 C 表示总成本， q 表示产量。

总成本函数 C 是产量 q 的单调增加函数。

常采用的函数模型如下。

（1） 线性成本函数： C = a + bq （ a ＞0， b ＞0）；

（2） 三次需求函数： C = a 0 + a 1 q-a 2 q 2 + a 3 q 3 （ a i ＞0， i =1，2，3）。

只给出总成本不能说明企业生产的好坏，为了评价企业的生产状况，需要计算产品的平均成本。即生产 q 个单位产品时，单位产品成本的平均值，记作 ，则

其中， 称为 平均可变成本 。

例1.19 已知某种产品的总成本函数为 ，求当生产30个该产品时的总成本和平均成本。

解 由题意，产量为30个时的总成本为

产量为30个时的平均成本为

2.总收入和平均收入函数

总收入 是指销售者按照某种价格售出一定数量商品所得的全部收入。即销售的价格与销售量的乘积。我们称

为 总收入函数。 其中 R 表示总收入， q 表示销售量， p 表示商品的价格，为常数。

在市场经济环境中，价格 p 不一定是常数，价格是随着需求量改变而变动的，因此说价格 p 是销售量 q 的函数，即 p = p （ q ） （如当买主购买的商品数量 q 越大时，卖主所要的商品的价格越低），则此时的总收入函数又可表示为

平均收入是指售出一定数量商品时，售出单位商品的平均价格。我们称

为 平均收入函数 ，其中 表示平均收入。

例1.20 设某产品的价格与销售量的关系为 p = ，求销售量为30件时的总收入与平均收入。

当 q =30时，总收入为

平均收入为

3.总利润函数

总利润 等于总收入与总成本之差。于是总利润函数为

其中， L 表示总利润。

例1.21 某厂生产某种产品，每吨售价2万元，若每月生产 Q （吨）的总成本为 C （万元），且有 C = Q 2 -4 Q +5

（1） 写出总利润函数；

（2） 求出生产该产品的盈亏两平点。

解 （1） 由题意可知：总收入函数为

总成本函数为

所以，总利润函数为

（2） 当总收入 R 与总成本 C 相等时，该企业既不盈利也不亏损。

又因为 R = C ，所以2 Q = Q 2 -4 Q +5，得 Q 2 -6 Q +5=0。

解得 Q 1 =1， Q 2 =5。

故该产品的盈亏两平点有两个，分别是生产1吨和生产5吨。作图，由图1-26可以看出，在区间（1，5）内总收入曲线在总成本曲线之上，它表示在区间（1，5）内每一产量 Q 都能使该工厂盈利，而区间（1，5）左右两侧的每一产量 Q 都能使该工厂亏损。因此，盈亏两平点 Q 1 =1是该工厂由亏损到盈利的转折点；盈亏点 Q 2 =5是该工厂由盈利到亏损的转折点。

习题1.5

1.设某商品的销售收入 R 是销售量 q 的二次函数，已知 q =0，2，4时，相应的 R =0，6，8。试确定 R 与 q 的函数关系。

2.某服装厂每月生产500套服装，定价为110元/套，当售出量不超过200套时，按照原价出售；售出量小于等于300套时，其中超过200套的部分，每套九折；售出量超过300套时，超过部分每套八折，试写出销售额与销售量的函数关系。

3.某玩具厂生产一件玩具的可变成本为18元，每天的固定成本为2 100元，如果每件玩具的出厂价为25元，为了不亏本，该厂每天至少应生产多少件玩具？

4.已知需求函数为 Q =100-5 p ，供给函数 S =-60+11 p ，求市场的均衡价格。