1.4 数据记录及有效数字的运算
为了得到准确的实验结果,不仅要准确的测量物理量,而且还要正确地记录测得的数据和进行相关运算。一个物理量的数值,不仅能反映出其数值的大小,而且要能正确地反映数据的可靠程度,反映实验方法和所用仪器的精确程度。因此,在实验数据的记录和结果的计算中,保留几位数字不是任意的,要根据测量仪器和数据处理方法来决定。例如用分析天平称量某物质为0.110 1 g(分析天平感量为0.1 mg),不能记录为0.110 g或0.110 10 g 。(25.0±0.2)℃是用普通温度计测量的,而(25.00±0.02)℃则是用1/10精确度的温度计测量的。所以,科学地记录实验数据和正确表达保留计算结果位数是很重要的,不能随便增加或减少位数。由于有效数字与测量仪器精度有关,实验数据中任何一位数都是有意义的,数据的位数不能增加或减少,它包括测量中的几位可靠数字和最后估计的一位可疑数字。在了解了有效数字的意义后,我们再来明确一下有效数字的位数及有效数字的运算规则。
1.有效数字的位数
(1)有效数字的位数是指从左边第一位不为零的数字至最后一位数字,与十进位制的变换无关,与小数点的位数无关。下列四个数字中,前三个都是三位有效数字:
158, 0.158, 0.000 158, 158 000
对中间二个数据,因表示小数位置的“0”不是有效数字,不难判断为三位有效数字,但最后一个数据其后面三个“0”究竟是表示有效数字,还是标志小数点位置则无法判定。为了明确的表示有效数字,一般采用指数表示法若把上面四个数字用指数表示为:
1.58×10 2 , 1.58×10 -1 , 1.58×10 -4 , 1.58×10 5
则很清楚。写成1.58×10 4 表示三位有效数字,若写成1.234 0×10 5 ,则表示五位有效数字。若某个物理量的第一位的数值等于或大于8,则有效数字的总位数可以多算一位,例如9.15虽然实际上只有三位有效数字,但在运算时可以看作四位有效数字,计算平均值时,若有4个数或超过4个数相平均,则平均值的有效数字位数可增加一位。
(2)任何一次直接测量值都要记到仪器刻度的最小估计读数,即记到第一位可疑数字。如测量某电解质溶液电导率为0.142 3 S·m -1 ,最后一位数字3是可疑的,可能有正负一个单位的误差,即该溶液的实际电导率是在(0.142 3±0.000 1)S·m -1 范围内的某一值。
(3)任何一物理量的数据,其有效数字的最后一位数在位数上与误差的最后一位一致。另外误差一般只有一位有效数字,至多不超过二位。如某物理量的测量值是1.58,误差是0.01,则
1.58±0.01:正确;
1.58±0.1:错误,缩小了结果的精确度;
1.58±0.001:错误,扩大了结果的精确度。
(4)有效数字的位数越多,数值精确程度也越大,即相对误差就越小,如:
1.35±0.01:表示三位有效数字,相对误差0.7%;
1.350 0±0.000 1:表示五位有效数字,相对误差0.007%。
(5)在舍弃不必要的数字时,应用“4舍6入,5成双'原则。即欲保留的末位有效数字的后面第一位数字为4或小于4时,则弃去;若为6或大于6时则在前一位(即有效数字的末位)加上1;若等于5时,如前一位数字为奇数则加上1(即成双),如前一位数字为偶数则舍弃不计。
2.有效数字的运算规则
(1)加减运算
当几个数据相加或相减时,计算结果的有效数字末位的位置应以各项中小数点后位数最少的数据为依据,即与绝对误差最大的那项相同。例如0.012 1,25.64,1.057 82,三个数据相加,若各数末位都有±1个单位的误差,则25.64的绝对误差±0.01为最大的,也就是小数点后的位数最少的是25.64这个数,所以计算结果的第二位已属可疑,其余两个数据按有效数字位数的最后一条的方法整理后只保留两位小数。因此 0.012 1 应写成 0.01;1.057 82应写成1.06。三者之和为0.01+25.64+1.06=26.71。
在大量数据的运算中,为使误差不迅速积累,对参加运算的所有数据,可以多保留一位可疑数据(多保留的这位数字叫“安全数字”)。
(2)乘除运算
当几个数据相乘除时,计算结果的有效数字位数应以各值中相对误差最大的那个数(有效数字位数最少的数)为依据。
例如:2 .3×0 .524=1 .2 中,取2 .3 的两位有效数字; 中,91的有效数字位数最少,但由于其第一位大于8,所以应看为三位有效数字。
在复杂运算中,中间各步的有效数字位数可多保留一位,以免由于取舍引起误差的积累,影响结果的准确性。
(3)对数和指数运算
所取对数位数应与真数的有效数字的位数相同或多一位。
(4)在所有的计算中,常数π,e数值及乘除因子如 和1/2等的有效数字位数,可认为无限制,即在计算过程中,需要几位就可以写几位。取自手册的常数可按需要取有效数字的位数也是如此。