2.4 电阻器的连接
电路中的电阻要么以串联或并联的形式出现，要么以串并联的形式出现。通过电阻的串联、并联，可得到需要的电路网络，或得到所需阻值的电阻器。
2.4.1 电阻器的串联
猴子捞月亮的故事你知道吧？那许多个猴子就是“串联”的形式。
若几个电阻首尾相接，如图2.29所示，就是电阻的串联。电阻串联后可等效为一个电阻（串联后的总电阻为R T ，如图2.29所示）。
图2.29 电阻器实物串联
结合2.3.1的知识，能否先看看上面三个电阻的阻值分别是多少？想一想，三个电阻串联后总电阻是多少？
图2.29所示是电阻器实物串联，从电路图上来看，则如图2.30所示。从上、下两图可以看到，相邻两个电阻器首尾相接是串联的要素。电阻器串联后，总电阻增大。总电阻等于所有串联在一起的电阻的阻值之和，用公式表示则为：
图2.30 串联电阻的电路图
需注意的是，两个串联电阻之间不能出现支路！若三个电阻连接到同一个节点，如图2.31所示，其中的R 1 与R 2 就不是串联关系。
图2.31 非串联电阻电路
例2.3：串联电阻的计算
串联电阻电路有这样一个特点：在串联电阻电路中，流过每个电阻的电流一样；但每个电阻两端的电压不同。
这个……需要怎样理解啊？
记住这个特点！
还记得前面2.1.2节中水管的例子吗？看图2.35所示的水管，以生活常识可知，a、b、c 三个位置处的水流量其实是一样的，但三处的水压不同。
图2.35 以水管类比串联电阻
根据生活常识即可知道，在同一时间内，被挤压的水管与未被挤压的水管内水流量是一样的。同理，串联电阻电路中，流过每一个电阻的电流一样。
很显然，当水管被挤压时，加在被挤压水管处的水压会更大些。即阻力小，水压就小；阻力大，水压就大。类比于串联电阻电路中每个电阻的电压，则电阻小，电阻两端的电压就小；电阻大，电阻两端的电压就大。利用欧姆定律很容易证明这个特点。
例2.4：计算图2.36所示的串联电阻电路中每个电阻的电流、每个电阻的端电压。先不要看解答的内容，请结合前面相关的知识尝试计算。如果可以的话，自己画一画它的电路图吧。
图2.36 例2.4图
解：在串联电阻电路中，流过每个电阻的电流可用式（2.8）计算。
计算串联电阻电路的总电阻：R=R
1
+R
2
+R
3
=300Ω
计算串联电阻电路的电流：I=U÷R=3V÷300Ω=0.01A
分别计算各电阻上的电压：U=IR
习题2.2：识别图2.37所示的三个色环电阻，并计算它们串联后的总电阻。
图2.37 三个色环电阻串联
习题2.3：在图2.38所示的电路中，R 2 的电流是多少？R 3 的电压是多少？
图2.38 习题2.3图
考察本节前面的内容可发现，串联电阻电路的总电压等于各串联电阻电压之和。或者说，加载到串联电阻电路的电压被按比例地分配到各串联电阻上，即串联电阻分压（见图2.39）。
图2.39 串联电阻分压
2.4.2 电阻分压器
从前一节的内容可知串联电阻电路的一个重要特点是，输入到串联电阻电路中的电压被分配到各串联电阻上。许多电路系统中的分压器其实就是利用了串联电阻电路的这个特点。
简单地说，分压器是一种在给定一个输入电压的情况下，将输入电压的一部分作为输出电压的电路。分压器是一种应用非常广泛的电子电路。
图2.40 电阻分压器电路
来看一看图2.40所示的电路，假设输出端未接其他任何电路，则流过 R 1 与R 2 的电流相同。从电路图中可以看到，V输出其实是取自电阻 R 2 两端的电压。结合前一节的内容可知，R 2 两端的电压可由式（2.9）计算：
从上面的公式与前一节的计算可知，串联电阻电路中每个电阻的电压总是小于输入电压。这意味着不论取串联电阻电路中哪个电阻的电压作为输出，分压器的输出电压总是小于输入电压，这就是被称为分压器的原因。
分压器常被用来从一个较大的电压中产生一个新的特定的电压。若输入电压不变、且分压器中电阻器的阻值是固定不变的，则分压器输出的电压也不变，人们常称其为固定分压电路，如图2.41所示。
图2.41 固定分压电路
对于电阻分压器，有如下几种情况：
若电阻分压器中任何一个电阻的阻值发生变化，分压器的输出电压随之变化，且电路中的电流会发生变化（可尝试自行计算）。
如果电阻分压器中的电阻按同一比例变化，则分压器的输出电压不变，但电路中的电流会发生变化。比较图2.41中的（a）、（b）。
若想使电阻分压器的输出电压减小，但电路中的电流不变，保持分压器总电阻不变的前提下，减小电阻 R
2
的阻值、增大 R
1
的阻值。比较图2.41中的（a）、（c）。
若想使分压器的输出电压增大，但电路中的电流不变，想想该怎么办？参阅图2.41中的（a）、（d）。
需注意的是，分压器规则总是假定输出电阻上是没有负载的。当输出电阻上有并联元件（负载）时，前面的分压器公式就不成立。幸好，接在分压器后面的大多数电路都是输入电路，而输入电路一般都是大阻值电路。当负载电阻大于输出电阻10倍以上时，许多人会忽略这个负载电路（虽然这会引起10%的误差）。
上面叙述中所说的R 1 、R 2 是泛指，并不指某个具体的电阻。R 2 是指分压电路中连接到“地”的电阻，另一个电阻则是 R 1 。在某些时候，电阻分压器电路中接“地”的电阻又称为下偏置电阻（不论电路电源的极性如何），未接地的电阻则被称为上偏置电阻。
2.4.3 电阻器的并联
有过站队列的经历吧？
纵队好比串联，横排就好比并联。
若两个或几个电阻以头接头、尾接尾的方式连接在一起，如图2.42（b）所示，即是电阻的并联。电阻并联后可等效为一个电阻（并联后的总电阻，参见图2.42）。
图2.42 实物电阻器的并联
图2.42所示是电阻器实物并联，并联电阻电路如图2.43所示。从图2.42、图2.43 可以看到，电阻器头接头、尾接尾是并联的要素。电阻器并联后，总电阻减小。电阻并联后的总电阻R T 可利用下面的公式计算。如果只有两个电阻并联，用式（2.10）计算；若有三个或三个以上的电阻并联，用式（2.11）计算。
图2.43 并联电路图
例2.5：计算图2.44中两个并联电阻电路的总电阻。
图2.44 例2.5电路图
若两个阻值相差10倍以上的电阻并联，并联后的总电阻近似等于阻值小的电阻。
若 n 个阻值相同的电阻并联，并联后的总电阻等于单个电阻阻值的1/n。比如，两个100Ω的电阻并联后阻值为100÷2=50Ω四个 100 Ω的电阻并联后阻值为100÷4=25Ω。图2.45所示是一个电阻并联的计算技巧，图（a）中的3kΩ 电阻相当于由两个 6kΩ的电阻并联得到，如此，图（a）所示的电路可被理解为图（b）所示的电路——3 个 6kΩ 电阻并联的电路，其并联后的总电阻为6÷3=2kΩ。
图2.45 电阻并联的计算技巧
并联电阻电路有这样一个特点：在并联电阻电路中，每个电阻两端的电压一样，但流过每个电阻的电流不同。
这个……需要怎样理解啊？
记住这个特点！
还记得水管类比电阻的例子吗？看图2.4所示的水管图例，很容易想象，主水管到各分支6水管的水压是一样的。但明显大水管阻力小，相当于小电阻；而小水管阻力大，相当于大电阻。
图2.46 用水管类比并联电路
根据生活常识即可知道，在同一时间内，各分支水管的水流量是不一样的。而主水管中的水流量等于各分支水管水流量之和。显然，各分支水管的水压是一样的。但是，分支水管管径大的水流量会大些，即阻力小，水流就大；阻力大，水流就小。类比于并联电阻电路中每个电阻的电流，则电阻小，流过电阻的电流就大；电阻大，流过电阻的电流就小。利用欧姆定律计算，可很容易证明并联电阻电路的这个特点。
例2.6：计算图2.47所示并联电阻电路的总电流、每个电阻的电流。☺如果可以的话，自己画一画它的电路图吧。
图2.47 例2.6图
计算并联电阻电路的总电阻：
计算并联电阻电路的总电流：
利用公式分别计算各电阻的电流。I=I
1
+I
2
+I
3
。
习题2.4：识别图2.48中的三个色环电阻，并计算它们并联后的总电阻。
图2.48 习题2.4图
习题2.5：已知图2.49中R 1 的电流为50mA，请计算 R 2 、R 3 的电流是多少？总电流是多少？
图2.49 习题2.5图
考察本节前面的内容可发现，并联电阻电路的总电流等于各并联电阻电流之和。或者说，加载到并联电阻电路的电流被按比例地分配到各并联电阻上，即并联电阻分流。如图2.50所示。
图2.50 并联电阻分流
前面所述的仅是一些基本的概念，在实际中应灵活运用。例如图2.51所示的电路，电路的总电流、总电阻可分别利用并联电阻计算公式、欧姆定律来计算。
图2.51 并联计算示例电路（1）
根据公式计算：
知道端电压的另一种计算方法：
在知道电路总电流I的情况下，可利用欧姆定律来计算纯并联电阻电路的分支电流。T 对于只有两个电阻并联的，可直接利用式（2.13）来计算电阻的电流：
例如，假设并联的电阻电路及其参数如图2.52所示，则：
图2.52 并联计算示例电路（2）
电阻串联与并联的特性比较见表2.4。
表2.4 电阻串联与电阻并联的特性比较
2.4.4 串-并联电路
在实际电路中，电阻的串联和并联有时是同时存在的。计算电阻串联、并联共存的电路的总电阻并不复杂，简单地说就是化繁为简。对于一个串联、并联共存的电阻电路，只要把握住电阻串联、并联的特点，对每一个局部串联或并联先予以综合（计算局部的等效总电阻），即可很容易计算出复杂串联、并联共存的复合电路总电阻。以下通过示例进行说明。
图2.53 串并联共存的复合电路
这里用图解的方法解析图2.53中的
、
两个串并联电阻电路，如图2.54、图2.55所示，图2.53中余下的
、
两个电阻电路请自行解析。
图2.53中
的解析
图2.54 图2.53解析（1）
图2.53中
的解析
图2.55 图2.53解析（2）
2.4.5 实际与应用
电阻是应用最广泛的电子元件。电阻串联、并联电路是最基础的电路之一。仅仅是利用电阻串联、并联的知识即可实现许多实际应用，解决许多实际问题。最简单的就是通过串联、并联，利用手中现有的电阻得到自己所需要阻值的电阻器。下面来看两个简单的实际例子。
例2.7：有一个 110V、40W的灯泡，怎样将其接入220V的电路，灯泡才能正常工作？很显然，110V的灯具肯定不能直接用于220V的线路，否则灯泡会被烧毁。可以利用串联电阻分压的特性，在灯泡线路上串接一个合适的电阻，由串接的电阻分掉多余的电压。图2.56（a）是实物连接示意图，图2.56（b）则是电路原理图。
图2.56 例2.7图
灯泡的额定工作电压为110V，因此串接的电阻应分去的电压为
由灯泡的额定工作电压、额定功率可以计算出灯泡的额定工作电流为
由串联电路特性可知，串接电阻的电流I R 也为0.364A。据此，利用欧姆定律可计算出所串接电阻的阻值为
据计算结果可知，要 110V/40W的灯泡在220V电源上正常工作，需串接一个 302Ω的电阻。
例2.8：已知一个电流表的最大量程为100mA，已知一个电路的最大电流为1A。如何才能将这个电流表用于该电路的电流指示？
在用小量程表测量直流大电流时，可使用分流电阻器。分流电阻器与电流表并联，然后同时串联接入待测支路，如图2.57所示。
图2.57 例2.8图
图2.57所示为原理示意图。利用并联电阻分流的特性，在电流表上并联一个合适的电阻，即可扩大电流表的量程。
由题意可知，电阻器分流的电流为1A－100mA=900mA。
由欧姆定律可计算出分流电阻器的阻值为U/I=9V/0.9A=10Ω。
上面的叙述都没错，但不够完善，你发现了吗？电阻的基本物理特征是将电能转化为热能（参见 2.1.3 节的内容）。除考虑所用电阻的阻值外，还需考虑电阻的功率，否则可能出现电路故障或烧毁设备。
很明显，在例2.7中使用的电阻至少需要 40W的功率。在实际中，虽然串接这样一个电阻能解决问题，但通常用两个 110V、40W的灯泡（灯泡其实就是纯电阻负载）串接使用。
在例2.8中，分流电阻器可能会消耗 9V×0.9A=8.1W的功率。选用 10W的水泥电阻则可保证使用。
在电子设备电路系统中，电阻串联与并联的实际应用比比皆是。图2.58～图2.61所示的是四个实际的电路。图2.58～图2.60所示电路是典型的串联应用；图2.61所示的电路中既有串联又有并联，利用并联控制分压器输出，借以实现自动控制的目的。仔细观察并计算一下吧。
图2.58 戴尔笔记本电脑D620内的一个CPU参考电源电路
图2.59 东芝笔记本电脑L600内存储器的一个参考电源电路
图2.60 Nokia 206双卡手机中充电电路的一部分
图2.61 三星笔记本电脑N220内充电控制器电路的一部分
2.4.6 梯形电阻网络
先看看图2.62所示的电阻串、并联电路的图形，像不像一架梯子呢？对啦，这就是称为梯形电阻网络的电阻串、并联网络的一种特殊形式。如果用电路图表示图2.62所示的电路，常见的为两种情况，如图2.63和图2.64所示。
图2.62 梯形电阻网络的电阻串、并联网络
图2.63 梯形电阻网络电路图（1）
图2.64 梯形电阻网络电路图（2）
梯形电阻网络的级数可以是无限的，这里展示的是基本的三级梯形网络。这样一个梯形网络通常从等效总电阻、电压与电流三个方面进行分析。
从梯形网络的最后一级（离电源最远的一端）开始串联或并联简化，分解图如图2.65所示。最后得到上面的示例梯形网络等效总电阻为5.6kΩ。
图2.65 梯形电阻网络分解图
根据图2.65中的分解图
可得到电路总电流：I=28V÷（2kΩ+3.6kΩ）=5mA。
得到电路总电流后，即可根据串、并联电路知识计算各分支电路的电流。图2.66所示是电路电流的分析示意图。你能否先计算一下呢？
图2.66 电路电流的分析示意图
从上面的分析示意图中可以看到，很明显，I T =I 2 +I 3 +I 4 。
根据前一页图2.65的分解图
可知，R
2
与等效电阻 R
t3
对 I
T
分流，得 I
1
与 I
2
；根据分解图
,R
4
与等效电阻 R
t1
对I
1
分流，得 I
3
与I
4
。根据分流公式计算，可得
根据上面的计算结果分析可知，R
1
的电流为5mA,R
3
、R
2
的电流为2.5mA,R
4
～R
6
的电流为1.25mA。知道了各个电阻的电流，利用欧姆定律当然可以很容易计算出电阻的电压。但这里的目的不在于此。你是否可以先利用分压公式计算？利用分压公式很容易计算出 R
1
的电压（参见前一页分解图
）为10V，由此知 R
t4
的电压为28-10=18V。
R
t4
由R
2
//R
t3
得到（分解图
），因此，R
2
与 R
t3
的电压都为18V。
R
t3
由R
3
+R
t2
得到（分解图
），即 R
3
与R
t2
对 18V 分压。根据分压公式，可得V
R3
=5.5V ,V
Rt2
=12.5V 。
到这里，已得到了 R 1 、R 2 、R 3 的电压，还剩下 R 4 、R 5 、R 6 的电压位置，请尝试参照上面的分析与电阻串联、并联的相关知识，求 R 4 、R 5 、R 6 的电压。
2.4.7 惠斯通电桥
学习电阻网络，自然需要了解惠斯通电桥（Wheatstone Bridge）。惠斯通电桥可用于精确测量电阻器的阻值，也可用于温度、压力等传感器电路，用于精确监测。例如，压力方面的液压控制压力传感器、涡轮增压压力传感器、大气压力传感器、轮胎压力传感器等。
图2.67所示是最常见惠斯通电桥的菱形结构。惠斯通电桥包含4个电阻、1个直流电源。菱形的顶角与底角连接直流电源。菱形两边角的A 点与 B 点为输出端。
图2.67 最常见惠斯通电桥的菱形结构
图2.68所示是惠斯通电桥另一种形式的电路连接图，它清晰地展示了电阻之间的串、并联关系。
图2.68 惠斯通电桥另一种电路连接图
惠斯通电桥有平衡、不平衡两种状态。
当电桥的A、B 两点间电压为零时，电桥处于 。当电桥的A、B 两点间有电压时，平衡状态电桥处于不平衡状态。想一想，什么情况下，电桥的A、B 两点间电压为零。
很显然，当V A =V B 时，A、B 两点间的电压为零。结合串联电阻电路的知识，相信你能很容易明白如何才可以使 V A =V B 。据串联分压公式可知：
式（2.14）就是惠斯通电桥平衡的条件。
由上面的两个式子很容易得到其中任意一个电阻的表达式，例如：
其他3个电阻也可用相同的方法求出表达式。你试试？
可利用平衡惠斯通电桥求未知电阻
例2.9：如图2.69所示的电路：已知 R 1 ～R 3 的值，A、B 两点间的电压为零，求 R 4 的阻值。
V AB 为0，说明电桥处于平衡状态。根据上面的电桥平衡公式可得：
图2.69 例2.9图（1）
实际中，电桥中的两个电阻阻值固定，一个电阻为一个有刻度指示的可变电阻，电桥余下的一边留空，即图2.70中的C、D 端。C、D 端被用来接待测电阻，如图2.71所示。而电桥的A、B 端则连接探测器。探测器可以是电压表，也可以是电流表，通常是对任意方向电流都反应敏锐的电流表（μA级）。
当待测电阻连接到电桥后，调节可调电阻 R 3 ，直到使电桥平衡，电流表显示为零，即 V A =V B 。此时可通过 R 3 的读数，利用电桥平衡公式计算出待测电阻 R x 的阻值。
例2.10：如图2.72所示的电路，已知 R 1 、R 2 的阻值如图所示，当R 3 的阻值调节到2.2kΩ时，电流表读数为零，求出R x 的值。
解：
电流表读数为零时电桥平衡，可通过式（2.14）得到R x 的计算公式为
将电路中的参数代入公式，计算得 R x 为495Ω。
图2.72 例2.10图
前面所讲述的惠斯通电桥无疑是可以用于电阻测量的。但用于实际时还存在一些问题，不知你是否能发现？
如果 R 1 、R 2 固定，且 R 2 /R 1 =1，则电桥平衡时，待测电阻 R x 等于 R 3 。这意味着R 3 的调节范围必须覆盖 R x ，意味着 R 3 的调节范围必须很大，否则电桥不能平衡。例如，如果R x 为100kΩ，而R 3 的调节范围仅为47kΩ，则电桥永远不可能达到平衡。
因此，为了能在很宽的范围内覆盖待测电阻，必须能够改变 R 2 、R 1 ，如图2.73所示。在实际直流电桥测试仪中，R 1 、R 2 通常是由开关控制的值为10的幂的电阻组成的，如此，R 2 、R 1 按十进制数规律从 0.001 变化到1000。可变电阻 R 3 则通常为1Ω到11000Ω按整数调节。图2.74所示的就是一个商用直流电桥的面板图，从中可以看到按十进制规律调节的控制开关。
图2.73 可改变R 1 、R 2 的电路图
图2.74 商用直流电桥的面板图
