我们已经花了一些时间来学习连续性。现在该来看看函数能够具有的另一种光滑性——可导性。这实质上意味着函数有导数。因此，我们会花相当一部分时间来研究导数。发展微积分的最初灵感之一来自试图去理解运动物体的速度、距离和时间的关系。因此，让我们从那里开始，之后再回到函数。

5.2.1 平均速率

想象一下，在高速路上给一辆汽车拍照。曝光时间非常短，因此图像并不模糊——你甚至不能分辨那辆车是不是在动。现在，我问你：拍照时汽车的运动速度有多快？你说，没问题，只需使用经典公式

但问题是，照片无法告诉你距离（那辆车没有动）或时间（照片实质上是捕捉了一瞬间）。因此，你无法回答我的问题。

嗯，但如果我告诉你，拍照之后的一分钟，汽车行驶了一英里呢？这时你就可以使用以上公式来计算了，汽车一分钟开了一英里，速率是 60 英里/小时。但仍旧，你如何知道汽车在那一分钟里的速率是一样的呢？在那一分钟里，它可能会有多次的加速和减速。你不知道在那一分钟的开始时刻它究竟开得有多快。事实上，上述公式并不精确：等号左边应该称为 平均速率 ，因为那是我们所能知道的全部。

好吧，看你可怜，我再告诉你，在第一个 10 秒钟，汽车行驶了 0.25 英里。现在，你可以使用该公式来计算，在第一个 10 秒钟内的平均速率是 1.5 英里/分钟或 90英里/小时。这有点帮助，但在这 10 秒钟里汽车仍旧可能改变过速率，因此我们仍然不知道在这段时间的开始时刻它开得有多快。不过速率也不可能跟 90 英里/小时差太多，毕竟在这么短的时间里，汽车只可能加速或减速这么多。

如果知道在拍照后的一秒钟里汽车走了多远，那将会更好，但这仍旧还不够。甚至 0.0001 秒都可能足以让汽车改变速率，尽管变化不会太大。如果你感到我们是在取极限的话，那你想得没错。不过，我们首先需要看一看速度的概念。

5.2.2 位移和速度

想象一下，汽车在一条长直的高速路上行驶。公路上的里程标志牌有点奇怪：某个点上是 0 标志，在其左侧，标志始于−1 并且变得越来越负；在其右侧，一切一如平常。事实上，整个情形看上去就像图 5-8。

假设汽车始于 2 英里处并直接驶向 5 英里处，那么它行驶的距离是 3 英里。但如果它是始于 2 英里处但向左行驶到了−1 英里处，它行驶的距离也是 3 英里。我们想要区分这两种情形，因此我们将使用 位移 来代替距离。位移公式就是：

位移=终点位置−初始位置。

如果汽车从位置 2 驶到位置 5，那么位移是 5 −2=3 英里。但如果是从位置 2 驶到了位置−1，那么位移是（−1）−2=−3 英里。因此，和距离不一样，位移可以是负的。事实上，如果位移是负的，那么汽车将终止于它初始位置的左侧。

距离和位移的另外一个重要区别就是，位移仅仅涉及终点和初始位置，汽车在行驶过程中的情况是无关紧要的。如果它从 2 走到 11，然后又返回到 5，距离是9 + 6=15 英里，但总位移仍然只是 3 英里。而如果它从 2 走到−4 然后又返回到2，位移实际上是 0 英里，尽管距离是 12 英里。然而，如果汽车只向一个方向行驶，没有后退的话，那么距离就是位移的绝对值。

正如我们在上一节看到的，平均速率是行使距离除以行驶时间。如果你用位移来代替距离，你会得到 平均速度 。也就是，

同样，速度可以是负的，而速率必定是非负的。如果在一定的时间段内，汽车有一个负的平均速度，那么它终止于初始位置的左侧。而如果在一定的时间段内平均速度是 0，那么汽车终止于它的初始位置。注意到，在这种情况下，汽车或许有一个很高的平均速率，尽管其平均速度为 0！一般而言，就像位移，如果汽车沿着一个方向行驶，那么平均速率就是平均速度的绝对值。

5.2.3 瞬时速度

现在，我们用速度来重新考察一下前面提到的重要问题：在给定的瞬间，如何测量汽车的速度？如前所述，基本思想就是，在始于拍照时刻并变得越来越小的时间段上，求汽车的平均速度。下面就是如何用符号来表达这个思路。

令 t 是我们关心的时刻。例如，如果全程始于下午两点，你可能决定要以秒表记，并用 0 表示开始时间。那种情况下，如果拍照时间是下午两点零三分，那么你将取 t =180。不管怎样，假设 u 是 t 之后很近的时刻。我们写 v _{t ↔ u} 表示汽车在始于时间 t 终止于时间 u 的时间段上的平均速度。现在，让 u 越来越靠近 t 。多近呢？能有多近就多近！而这正是轮到极限登场的地方。事实上，

不过，为什么要忽略在时刻 t 之前的细节呢？通过允许 u 在 t 之前，我们可以让以上定义变得更一般一些。然后，我们可以用双侧极限替换右极限：

现在需要更多的公式。假设知道在高速路上汽车在任意时刻的准确位置。特别是，假设在时刻 t ，汽车的位置是 f （ t ）。这就是说，令

f （ t ）=汽车在时刻 t 的位置。

现在就可以准确地计算平均速度 v _{t ↔ u} 了：

注意到分母 u − t 是所涉及时间段的长度（如果 u 在 t 之后的话 ^[1] ）。不管怎么说，现在来取 u → t 时的极限：

当然，在以上极限中，不能只是用 u = t 作替换，因为那样的话，会得到 0/0 的不定式。你现在还是要使用极限形式。

再来看一个稍有变化的变体。我们定义 h = u − t 。由于 u 非常靠近 t ，两时刻的差值 h 一定非常小。确实，当 u → t 时，可以看到 h →0。如果在上述极限中作如此替换的话，由于 u = t + h ，也会有

该公式和前一个公式没有实质性差别，只是写法不同而已。

让我们来看一个小的例子。假设处于静止状态的汽车从 7 英里标志处向右开始加速，并设此时刻 t =0 小时。结果表明，汽车在时刻 t 的位置好像是 15 t ² + 7（这里的数 15 取决于加速度）。暂且不去担心为什么会如此，让我们设 f （ t ）=15 t ² + 7，并看看是否可以求出汽车在任意时刻 t 的速度。

使用上述公式有

现在展开（ t + h ） ² = t ² + 2 th + h ² ，并进一步化简，看到上述表达式变为

在最后一步，从分母中消去了 h ，这非常好，因为是它造成了所有的麻烦。现在，就可以将 h =0 代入并看到

在时刻 t 的瞬时速度= =30 t 。

因此，在时刻 0，汽车的速度是 30 ×0=0 英里/小时——汽车处于静止状态。半小时之后，在时刻 t =1/2，它的速度是 30 ×1/2=15 英里/小时。一小时之后，速度是 30 英里/小时。事实上，在时刻 t 的速度是 30 t ，这个事实告诉我们，汽车行驶得越来越快，每小时速度增加 30 英里/小时。也就是说，汽车以 30 英里每二次方小时加速。

5.2.4 速度的图像阐释

是时候来看看图像了。再次假设 f （ t ）代表汽车在时刻 t 的位置。如果想要在特定时刻 t 的瞬时速度，需要选取一个靠近 t 的时刻 u 。让我们来画一下 y = f （ t ）的图像，并标注位置（ t，f （ t ））和（ u，f （ u ））以及过这两点的直线，如图 5-9 所示。

该直线的斜率由公式

给出，这正好就是上一节中平均速度 v _{t ↔ u} 的公式。因此就有了在 t 到 u 时间段上平均速度的图像阐释：在位置与时间的图像上，它就是连接点（ t，f （ t ））和（ u，f （ u ））的直线的斜率。

让我们来试着给瞬时速度找一个类似的阐释。我们需要取 u 趋于 t 时的极限，因此要重复几次上述图像，每一次 u 会越来越接近固定值 t ，如图 5-10所示。

这些直线看上去好像越来越接近点（ t，f （ t ））处的切线。由于瞬时速度是这些直线在 u → t 时的极限，于是，瞬时速度就等于通过点（ t，f （ t ））的切线的斜率。看起来需要对切线有更好的了解……

5.2.5 切线

假设在某个函数 f 的定义域上选取一点 x ，那么点（ x，f （ x ））位于 y = f （ x ）的图像上。我们想要试着画一条通过该点并与该曲线相切的直线，即要找到一条切线。直观上，这意味着要找的直线刚好掠过该曲线的点（ x，f （ x ））。切线不是只能与曲线仅相交一次！例如，图 5-11 中通过点（ x，f （ x ））的切线与曲线还有第二次相交，这不成问题。

也可能在一个图像上给定的一点没有切线。例如，考虑 y = 的图像，如图5-12 所示。该图像通过点（0，0），但过那一点没有切线。毕竟，怎么可能会有切线？不管怎么画，都不能在那里同时顾及两边的图像，因为它在原点处有一个尖点。在后面的 5.2.10 节将返回到该例子。

即使通过（ x，f （ x ））的切线存在，你又该如何找到它呢？回想一下，为了描述一条直线，仅仅需要提供两个信息：直线上的一点和该直线的斜率。然后，就可以使用点斜式来求直线方程。其实，我们已经有了一个要素了：直线通过点（ x，f （ x ））。现在，只需要求出斜率。为了求解，我们将玩一个游戏，类似于在上一节中求瞬时速度玩的那个。

我们由选取一个靠近于 x （在它的左边或右边）的数 z 开始，并在曲线上画出点（ z，f （ z ））。现在，画一条通过点（ x，f （ x ））和（ z，f （ z ））的直线，如图 5-13 所示。

由于斜率是对边比邻边，则虚线的斜率是

现在，当点 z 越来越接近 x ，但没有真正到达 x 的情况下，以上直线的斜率应该变得越来越接近要找的切线的斜率。因此，显然有

通过（ x，f （ x ））的切线的斜率=

设 h = z − x ，可以看到，当 z → x 时，有 h →0，从而也有

通过（ x，f （ x ））的切线的斜率=

当然，这只有当极限确实存在的时候才说得通！

5.2.6 导函数

在图 5-14 中，我在曲线上画了通过三个不同的点的切线。

这些直线有不同的斜率。也就是说，切线的斜率取决于你选取的点 x 的值。换句话说，通过（ x，f （ x ））的切线的斜率是 x 的一个函数。这个函数被称为 f 的 导数 ，并写作 f' 。我们说，对 f 关于变量 x 求导 得到函数 f' 。根据上一节结尾部分的公式，如果极限存在的话，有

在这种情况下， f 在 x 点 可导 。如果对于某个特定的 x ，极限不存在，那么 x 的值就没有在导函数 f' 的定义域里，即 f 在 x 点 不可导 。有很多原因会导致极限不存在。比如说，那里有一个尖角，就像前述 y = 的例子中那样。从更基本的层次上说，如果 x 没有在 f 的定义域中，那么甚至不可能画出点（ x，f （ x ）），更不用说在那里画一条切线了。

回忆一下 5.2.3 节中瞬时速度的定义吧：

其中 f （ t ）是汽车在时刻 t 的位置。等号右边的表达式和上述 f ' （ x ）的定义一样，只是用 x 代替了 t ！这就是说，如果 v （ t ）是在时刻 t 的瞬时速度，那么 v （ t ）= f ' （ t ）。速度正是位置关于时间的导数。

来看一个关于求导的例子。如果 f （ x ）= x ² ，那么 f ' （ x ）是什么呢？计算过程和 5.2.3 节结尾部分很相似：

因此， f （ x ）= x ² 的导数由 f ' （ x ）=2 x 给出。这意味着，抛物线 y = x ² 在点（ x，x ² ）的切线的斜率就是 2 x 。让我们画出该曲线和一些切线来检验一下，如图 5-15 所示。

在 x =−1 处的切线的斜率看起来的确是−2，这与公式 f ' （ x ）=2 x 是一致的。（两倍的−1 是−2！）其他切线也一样，它们的斜率都是相应的 x 坐标的两倍。

5.2.7 作为极限比的导数

在导函数 f ' （ x ）的公式中，必须求出量 f （ x + h ）的值。这个量是什么呢？其实，如果 y = f （ x ），将 x 变为 x + h ，那么 f （ x + h ）只是一个新的 y 值。量 h 代表对 x 作了多少改变，因此用量△ x 作替换。这里的符号△表示“在……中的变化”，因此△ x 就是在 x 中的变化。（不要把△ x 看作是△和 x 的乘积，否则是错的！）因此，用△ x 替换 h ，来重新写一下 f ' （ x ）的公式：

好了，情况是这样的。由（ x，y ）开始，其中 y = f （ x ）。现在，选取一个新的 x 值，称之为 x 新。 y 的值也会相应地变成 y 新，这当然就是 f （ x _新 ）。现在，任意量的改变量正好是新值减去旧值，因此有两个方程：

△ x = x _新 − x 和△ y = y _新 − y 。

第一个方程说的是 x _新 = x + △ x ，因此第二个方程现在可以变形为

△ y = y _新 − y = f （ x _新 ）− f （ x ）= f （ x + △ x ） − f （ x ）。

这就是上面 f ' （ x ）定义中分数的分子！这意味着

该公式的一个阐释是， x 中的一个小的变化产生了大约 f ' （ x ）倍的 y 中的变化。的确，如果 y = f （ x ）= x ² ，那么在上一节已经看到 f ' （ x ）=2 x 。让我们将精力集中在例如当 x =6 时的情况。首先注意到，由 f ' （ x ）的公式可知 f ' （6）=2 ×6=12。因此，如果取等式 6 ² =36 并将 6 作一点点改变，36 将会变化 12 倍于此的量。例如，如果把 0.01 加到 6 上，就应该将 0.12 加到 36 上。因此，我会猜（6.01） ² 应该差不多是 36.12。事实上，确切答案是 36.1201，因此我的猜测确实接近。

那么，为什么我没有得到确切答案呢？原因是， f ' （ x ）并不真正地等于△ y 和△ x 的比值，它等于当△ x 趋于 0 时该比值的极限。这意味着，如果没有离 6 太远的话，可能会做得更好。让我们来试着猜一下（6.0004） ² 的值吧。将原始的 x 值 6 加上了 0.0004，因此， y 值应该有 12 倍于此的改变，也就是 0.0048。因此，我们猜测（6.0004） ² 大约是 36.0048。这还不错——真正的答案是 36.004 800 16，两个数已经非常接近了！对 6 的改变越小，我们的方法计算出的结果就会越好。

当然，魔力数字 12 仅仅当从 x =6 开始的时候才会起作用。如果从 x =13 开始的话，魔力数字就是 f ' （13）了，它就等于 2 ×13=26。因此，我们知道 13 ² =139，那（13.0002） ² 是什么呢？为了从 13 得到 13.0002，必须加上 0.0002。由于魔力数字是 26，必须将 26 倍的 0.0002 加到 169 上来得到我们的猜测。这就是说，将 0.0052加到 169 上并得出猜测结果是 169.0052。再一次地，这相当不错：（13.0002） ² 实际上 169.005 200 04。

不管怎样，我们在第 13 章讲解线性化时将返回到这些基本思想上来。现在再来看看公式

等号右边的表达式是，当 x 中的变化非常小时， y 中的变化与 x 中的变化的比值的极限。假设 x 小得以至于其中的变化几乎注意不到。现在我们不写△ x ，它表示“ x 中的变化”，而是写d x ，它表示“ x 中的十分微小的变化”。对 y 也有类似的表示方法。不幸的是，d x 和d y 本身没有什么意义 ；尽管如此，这给了我们灵感，可以用一种不同的且更方便的方法来写导数：

如果 y = f （ x ），那么可以用 来代替 f ' （ x ）。

例如，如果 y = x ² ，那么 =2 x 。事实上，如果用 x ² 代替 y ，会得到对于一件事情的很多不同的表达方式：

作为另一个例子，在 5.2.3 节，我们看到过，如果汽车在时刻 t 的位置是 f （ t ）=15 t ² + 7，那么它的速度是 30 t 。回想一下，速度就是 f ' （ t ），这意味着 f ' （ t ）=30 t 。但如果我们决定把位置称为 p ，从而 p =15 t ² + 7，便可以写 =30 t 。这里的要点是，不是所有的量都用 x 和 y 来表达，你必须能够应对其他的字母。

总而言之，量 是 y 关于 x 的导数。如果 y = f （ x ），那么 和 f ' （ x ）是一回事。最后，请记住，量 实际上根本不是一个分数，它是当△ x →0 时分数 的极限。

5.2.8 线性函数的导数

让我们暂停一下喘口气，回到一个简单的例子：假设 f 是线性的。这意味着，对于某个 m 和 b ， f （ x ）= mx + b 。你认为 f ' （ x ）会是什么？回想一下，它度量的是，曲线 y = f （ x ）在点（ x，f （ x ））处的切线的斜率。在这个例子中， y = mx + b 的图像就是斜率为 m 、 y 轴截距为 b 的一条直线。显而易见，该条直线上任意一点的切线就是这条直线本身！这意味着，不管 x 取何值， f ' （ x ）的值就应该是 m ，因为曲线 y = mx + b 有固定的斜率 m 。用公式检验一下：

因此，不管 x 取何值， f ' （ x ）= m 。这就是说，线性函数的导数是常数。如你所想，只有线性函数有固定的斜率（这是所谓的中值定理的结果，具体参见 11.3.1 节）。顺便说一下，如果 f 是常数函数，即 f （ x ）= b ，那么其斜率总是 0。特别是，对于所有的 x ， f ' （ x ）=0。因此，这证明了常数函数的导数恒为 0。

5.2.9 二阶导数和更高阶导数

由于可以由一个函数 f 出发，取其导数得到一个新的函数 f' ，实际上可以采用这个新的函数，再次求导。最终得到导数的导数，这被称为 二阶导 ，写作 f'' 。

例如，如果 f （ x ）= x ² ，那么其导数为 f ' （ x ）=2 x 。现在，我们想要对此结果求导。设 g （ x ）=2 x ，并试着求出 g ' （ x ）。由于 g 是一个线性函数，其斜率为 2，从上一节我们知道 g ' （ x ）=2。因此， f 导数的导数是常数函数 2，这样就证明了，对于所有的 x ， f '' （ x ）=2。

如果 y = f （ x ），那么我们已经看到，可以用 代替 f ' （ x ）。对于二阶导有一种相似的记号：

如果 y = f （ x ），那么可以用 代替 f '' （ x ）。

在上述例子中，如果 y = f （ x ）= x ² ，我们已经看到

这些都是对 f （ x ）= x ² （关于 x ）的二阶导是常数函数 2 的有效的表达方式。

为什么要止步于求二阶导呢？函数 f 的三阶导是 f 的导数的导数的导数。这可是一长串“导数”！，你应该把 f 的三阶导看成是 f 二阶导的导数，并且可以用以下任意一种方式写出：

记号 f ^（3） （ x ）对于高阶导数尤其方便，因为写那么多的撇号简直太傻了。因此，四阶导，即三阶导的导数，就可以写作 f ^（4） （ x ）而不是 f'''' （ x ）。尽管如此，对于低阶导数，有时候用这种方式表示也会很方便，比如将二阶导写成 f ^（2） （ x ）而不是 f '' （ x ）。甚至也可能将一阶导写成 f ^（1） （ x ）而不是 f ' （ x ），因为只取了一次导数，此外，还可以用 f ^（0） （ x ）代替 f （ x ）本身（没有取导数！）。用这种方式，任何导数都可以写成 f ^{（ n ）} （ x ）的形式，其中 n 为整数。

5.2.10 何时导数不存在

在 5.2.5 节，我提到过 f （ x ）= 的图像在原点处有一个尖点。而这应该意味着，在 x =0 处导数不存在。现在来看看为什么会是这样。使用导数公式，有

我们感兴趣的是 x =0 时会发生什么，因此在以上等式链中用 0 替换 x ，得到

我们之前看到过这个极限！事实上，在 4.6 节，该极限不存在。这意味着， f ' （0）的值无定义，即 0 没有在 f' 的定义域中。然而我们也看到过，如果将它由一个双侧极限改为单侧极限，那么以上极限存在。特别是，右极限是 1，左极限是−1。这激发了 右 导数 和 左导数 的思想，其定义分别为

它们看起来和普通导数的定义很相似，只是双侧极限（即当 h →0）分别由右极限和左极限所代替。跟在极限的情况一样，如果左导数和右导数存在且相等，那么实际的导数存在且有相同的值。同时，如果导数存在，那么左右导数都存在且都等于导数值。

不管怎样，这里的要点是，如果 f （ x ）=| x |，那么在 x =0 处其右导数为 1，左导数为−1。你相信吗？让我们再来看看图 5-16。当从原点出发沿着该曲线向右移动时，它的斜率确实是 1 （事实上，斜率始终为 1，即如果 x > 0， f ' （ x ）=1）。类似地，从原点出发沿着该曲线向左移动时，它的斜率是−1 （事实上，如果 x < 0， f ' （ x ）=−1）。由于左侧斜率不等于右侧斜率，所以在 x =0 处导数不存在。

现在，我们有了在其定义域内不是处处可导的连续函数。很明显，除了一个小点外，它仍然是可导的。事实上，你可以有这样一个连续函数，它是如此起伏多刺以至于它实际上在每一个单点 x 上都有一个尖角，因此它在任意点上都不可导！这种怪异的函数超出了本书的研究范围，但我要顺便提及，这种类型的函数可以用来为股价建模——如果你曾经看到过股价的图像，就会知道我说的起伏多刺是什么意思了。不管怎样，这里我的要点的是，存在不可导的连续函数。那么会有不连续的可导函数吗？回答是否定的，我们马上就会看到原因。

5.2.11 可导性和连续性

现在是时候将本章的两个重要概念联系在一起了。我将要表明，每一个可导函数也是连续的。换言之，如果你知道一个函数是可导的，那么你将买一赠一，获知该函数的连续性。更确切地说，我将要表明：

例如，将在第 7 章证明，sin （ x ）作为 x 的函数是可导的。这将自动暗示它在 x 处也是连续的。同样的结论也适用于其他的三角函数、指数函数和对数函数（除了在它们的垂直渐近线处）。

那么该如何证明我们这个重大断言呢？先来看看我们想证明的是什么。要证明 f 在 x 上连续，需要证明

并且根据 5.1.1 节，只有当等号两边同时存在时，上式才成立！在继续证明之前，我想用 h = u − x 作替换，正如我们之前做过的。在这种情况下， u = x + h ，并且当 u → x 时，我们看到 h →0。因此，上式变为

我们需要证明等号两边都存在且相等——那样的话，就完成任务了。

目标已经明确，现在就让我们从实际知道的开始吧。我们知道 f 在 x 上可导；这意味着， f ' （ x ）存在，因此根据 f' 的定义，极限

存在。首先注意到，上式中包含了 f （ x ），那么它一定存在，否则上式就无从谈起。因此，我们已经有所进展： f （ x ）存在。但我们仍然需要想些聪明的办法。这里的技巧是，由另一个极限开始：

一方面，通过将它分成两个因子，可以求出该极限为

由于所有涉及的极限都存在，所以这样做没问题。（这里需要用到事实， f ' （ x ）存在，不然就有问题了。）另一方面，可以取原始极限并消去因子 h 得到

比较一下这两个式子，就会得到

当然， f （ x ）的值根本不依赖于极限，因此可以将它提出来，得到

现在，只需将 f （ x ）加到等号两边，得到

而这正是我们想要的！特别是，等号左边的极限存在并且等式成立。因此，我们证明了一个很好的结论： 可导函数必连续 。不过要记住，连续函数并不总是可导的！

[1] 如果 u 在 t 之前，那么分母应该是 t - u ，分子应该是 f （ t ）− f （ u ），因此无论怎样都没问题！