3.1 齐次坐标变换
1. 齐次线性变换
设有序数组（ x ， y ， z ）及与之对应的有序数组（ x′ ， y′ ， z′ ），满足（齐次）关系：
称 T 是把有序数组（ x ， y ， z ）变到（ x′ ， y′ ， z′ ）的一个齐次线性变换。有序数组（ x′ ， y′ ， z′ ）称为在变换 T 下的（ x ， y ， z ）的像，（ x ， y ， z ）则称为（ x′ ， y′ ， z′ ）的原像。方阵：
称为齐次线性变换 T 的方阵或齐次线性变换矩阵。
若有序数组（ x ， y ， z ）及与之对应的有序数组（ x′ ， y′ ， z′ ）分别为两个空间坐标系 A 和 B 中的两个位置坐标，则称 T 是把坐标系 A 中的位置坐标（ x ， y ， z ）转换到坐标系 B 中的位置坐标（ x′ ， y′ ， z′ ）的一个齐次坐标（线性）变换。
2. 二维齐次坐标变换
如图3-1所示，设 P 点在原坐标系 O A X A Y A 中的坐标值为（ x A ， y A ），当坐标系 O A X A Y A 移至新坐标系 O B X B Y B 后，则 P 点在新坐标系 O B X B Y B 中的坐标值（ x B ， y B ）与（ x A ， y A ）的关系可表示为
图3-1 二维坐标变换
式中，
r
A
、
r
B
表示向量；
表示坐标变换矩阵。
3. 三维齐次坐标变换
如图3-2所示，设 P 点在原坐标系 O 1 X 1 Y 1 Z 1 中的坐标值为（ x 1 ， y 1 ， z 1 ），当坐标系 O 1 X 1 Y 1 Z 1 沿 X 1 轴平移 x 至新坐标系 O 2 X 2 Y 2 Z 2 后，则 P 点在新坐标系坐标系 O 2 X 2 Y 2 Z 2 中的坐标值（ x 2 ， y 2 ， z 2 ）与（ x 1 ， y 1 ， z 1 ）的关系可表示为
式中， Trans （ x ）表征沿 X 1 轴平移的平移矩阵。
图3-2 坐标系的坐标变换
类似地，沿 Y 1 轴和 Z 1 轴的平移矩阵分别为
若坐标系 O 1 X 1 Y 1 Z 1 绕 X 1 轴旋转 θ x 后成为坐标系 O 2 X 2 Y 2 Z 2 ，则
式中， Rot （ θ x ）为绕 X 1 轴的旋转矩阵。
类似地，绕 Y 1 轴和 Z 1 轴的旋转矩阵可分别表示为
在坐标系的坐标变换中，若坐标系 O 1 X 1 Y 1 Z 1 先分别沿 X 1 、 Y 1 和 Z 1 轴平移 x 、 y 和 z ，再分别绕 X 1 、 Y 1 和 Z 1 轴旋转 θ x 、 θ y 和 θ z ，则表征 O 1 X 1 Y 1 Z 1 经上述平移、旋转后转换到新坐标系 O 2 X 2 Y 2 Z 2 之间关系的齐次坐标变换矩阵为
当旋转角度 θ x 、 θ y 和 θ z 非常小时，有sin θ x ≈ θ x 、sin θ y ≈ θ y 、sin θ z ≈ θ z 、cos θ x ≈1、cos θ y ≈1、cos θ z ≈1。当平移 x 、 y 和 z 分别有误差 δ x 、 δ y 和 δ z 时，如忽略二阶以上微量，可将式（3-7）齐次坐标变换矩阵简化为
