1 接受指数思维一开始感觉不自然

有一个古老的谜题与一个被外来睡莲入侵的美丽、原始的池塘有关。这种睡莲的数量每天都会翻一番，很快就覆盖了整个池塘表面。一位科学家住在池塘边的小房子里，她每天都仔细地记录入侵植物的生长情况，她特别关心那些在睡莲叶的遮蔽下因缺乏阳光而无法生存的水生生物。

到第30天，池塘被完全覆盖，共有536,870,912片睡莲。谜题是：“在第15天，池塘里大约有多少片睡莲？”我知道我第一次听到这个谜题时，还以为是268,435,456，536,870,912片睡莲的一半——回答错误。

更容易回答的问题是：“在哪一天池塘表面被睡莲覆盖一半？”答案是第29天。为什么？因为睡莲的数量每天都会翻倍，所以第30天的前一天就是池塘表面被覆盖一半的时候，这是合乎逻辑的。如果你答错了，认为池塘在第15天被覆盖一半，这个想法也很自然，因为15天是30天的一半。

让我们想想，如果睡莲的数量每天翻一倍，到第15天究竟会发生什么。从第1天的1片睡莲开始。

第1天 = 1片睡莲

第2天 = 2片睡莲

第3天 = 4片睡莲

第4天 = 8片睡莲

第5天 = 16片睡莲

第6天 = 32片睡莲

第7天 = 64片睡莲

第8天 = 128片睡莲

第9天 = 256片睡莲

第10天 = 512片睡莲

第11天 = 1,024片睡莲

第12天 = 2,048片睡莲

第13天 = 4,096片睡莲

第14天 = 8,192片睡莲

第15天 = 16,384片睡莲

由于上述的数字变化规律很像 Excel公式 = POWER (2, DAY–1)，我们可以验证第30天的睡莲数量为：

第30天 = POWER (2, 30-1) = POWER (2, 29) = 536,870,912片睡莲

到第15天，池塘里有16,384片睡莲，这还只是536,870,912片睡莲的0.003%，远不到50%。在第15天之后继续运算这一公式，我们发现在第23天和第24天之间，池塘里睡莲的数量终于突破了总数（约5亿片睡莲）的1%：

第23天 = POWER (2, 22) = 4,194,304

第24天 = POWER (2, 23) = 8,388,608

你可能会觉得概念化这一切有点难，这正是因为它展示了指数思维和线性思维之间的区别在于思考方式。

当人们错误地回答池塘表面在第15天被睡莲覆盖50%时，他们使用的是线性思维。我们习惯用线性思维工作，因为这是我们知道的理解世界的方式。想想你种下并每天浇水的一株幼苗会慢慢长大。唯一能让它长得更快的可能是肥料。但如果放任它不管，它将线性生长。稳定、线性的增长并不一定意味着缓慢的增长——例如，当孩子们学习如何数两位数而不是一位数时，他们数到100时会感到兴奋。但哪怕你以一百万为单位数数，你采用的依然是常规的线性思维，因为你每次数数增加的量是不变的。

正如这个谜题的正确答案所阐述的那样，指数思维在计算世界中更常见，这不仅是因为它决定了摩尔定律的成倍增长，还因为它通常是设计循环的方式。我喜欢把线性思维和指数思维的差别比作加法效应和乘法效应的差别。加法使一个数每次增加相同的值；乘法使一个数以“飞跃”的方式增大。例如，如果我像刚发现这种超能力的小学生那样从1开始数，每次加10，只需10步我就能跳到101。但是，如果我从1开始乘以10，经过10次迭代，我就有100亿了——对任何发现这一点的未来数学家来说，这都堪称超能力。在这两个例子中，我们都使用了同一个乏味的数字10，但是仅仅将加号（+）旋转45度变成乘号（×），我们就进入了一个完全不同的维度。这是因为乘法里面“隐藏”了一堆加法。

我们可以把5×10看作10个5相加：5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 +5 + 5 + 5 + 5。或者，我们可以进一步计算5×1,000。它看起来是这样的：

5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5

因此，把一个数字乘以1,000的力量惊人，让数字5以《杰克与豆茎》里的速度增长。在这个故事里，一颗小豆子在被种下的第二天早晨就长成了直冲云霄的巨型豆茎。为了进一步理解这一点，你可以让你的大脑扫描前文的“+5”，感受乘法计算带来的指数级“飞跃”，并由此体会×蕴藏的+不具备的能量。

指数增长扎根于计算机固有的运作方式中。这是可用计算内存量的演进过程。这也是计算机的处理能力的演进过程。所以当你在硅谷听人们谈论未来时，值得注意的是他们谈论的不是一个年复一年等量变化的未来。他们一直在寻找指数级的跳跃——由于他们十分熟悉计算语言，他们知道究竟该如何利用这些跳跃。接下来，让我们看看像循环语句这样看似无聊的东西是如何在计算机中实现指数魔法的。