计算器混沌

土卫七为什么 恰恰 那样运行？我们还没有能力回答，但我可以举一个较易领会的混沌的例子，你可以亲自验算。你需要的全部东西只是一个袖珍计算器。如果你拥有一台家庭计算机，你不难编程序，让它做同样的事情，使你省掉许多事。

支配土卫七运动的方程是微分方程。实际上它告诉你的事是这样的。假设在给定的时刻，你知道土卫七的位置和速度。于是有一个固定的规则，你把它用于这些数，就得出下一时刻的位置和速度。然后你再用这规则，不断计算下去，直到你达到所想要的时刻为止。

你可能会反诘，时间是无限可分的，因而无所谓某一时刻，更不必说下一时刻了。你也许是对的，虽然芝诺〔埃利亚的〕（Zeno of Elea） 和一些现代物理学家会不赞成；无疑你抱有传统的看法。然而，在用几种不同方式可使之精确的意义上，上述说法在道义上是正确的。特别地，计算机解微分方程的方式正是如此，这里的“时刻”我们现在指“计算中所用的时间步”。这方法是可行的，因为这些非常短的时间步与连续流逝的时间良好地近似。

土卫七的方程包含许多变量——位置、速度、角位移等。你 可以 把它们都输入计算器，但是人生有涯，倒不如选取一个简单得多的方程。请注意，它与土卫七的运动毫无关系；但它的确说明了混沌现象。

我的计算器有一个x ² 键，假定你的也有。如果没有，×后再按=就能得到同样的效果。取一个介于0与1之间的数，比如0.54321，按x ² 键。再按它，反复按下去，并观察读数。结果如何？

它们骤减。我在计算器上第9次按键时得到零，因为0 ² =0，此后不再发生十分有趣的事一点也不奇怪。

这样的做法叫作 迭代 ，即反复做同样的事。请在你的计算器上迭代其他一些键。以下我总从0.54321开始，但你可以用你想用的别的初始值。不过要避开0。我的计算器是“弧度”式的，按cos键约40次后，我得出神秘数0.739085133，它就显示在那里。你能猜出这个数有什么特殊性质吗？无论如何，迭代的结果总是稳定到单个数值：它向一个定态 收敛 。

tan键似乎也做同样一类事。外表是靠不住的。我用计算机迭代了300000次，它从不收敛，也不呈周期性。然而它“粘”在那里，缓缓地增大——例如每迭代一次增加0.0000001。这一效应称作 间歇 ，它解释了为什么乍一看这些数似乎在收敛。

还有无穷多个初始值，对它们来说，tan序列不断重复同一个数，但0是你很可能偶然碰到的唯一的数。这种“典型”性态就是间歇。

用e ^x 键时，数字大到268点几就会溢出，接着就给出出错提示，因为它太大了：它正好落入无穷大。 键则收敛到1。

1/ x 键更加有趣：数轮流地从0.54321变为1.840908673，再变回去。这种迭代是 周期性的 ，周期是2；也就是说，如果你按键2次，就回复到起点。你大概会弄明白这是为什么。

把计算器上的所有键统统试一遍：你将发现以上所述似乎穷尽了可能的性态类型。

但那或许是因为计算器上的键是被设计好去做微妙的事的。为了避免这结果，你可以发明新的键。 x ² -1键怎么样？要模拟它，按 x ² 键后再按-1=即得。照此做下去。很快你会发现，你在0和-1之间不断循环（图6）。道理是：

0 ² -1= -1，

（-1） ² -1=0。

但循环也不是什么新东西。

最后一试：2 x ² -1键。从0和1之间的某值（不包括0和1）开始。看上去没什么特别的，看不出怎么会发生什么特别现象。嗯……跳来跳去跳个不停。等它稳定下来……。太费时间了，不是吗？什么规律也看不出来……。在我看来是乱七八糟的（图7）。

啊哈！

简单的方程：迭代2 x ² -1。结果看上去却不那么简单——实际上 它们看上去是无规则的 。

再试一次2 x ² -1键，现在从0.54322而不是0.54321开始。它看上去还是无规则的，而且在迭代50次左右之后它看上去依旧完全不同。

你所见到的，是土卫七的一个缩影。确定性的方程：混乱的输出。略微改动初始值：完全丧失了它行动的轨道。造成所有这些奇事的根源在于2 x ² -1太古怪，而表面上类似的 x ² -1键的性态却很好。

我建议你不必再在计算器上试下去了，除非你喜欢冗长的计算；但如果你有家庭计算机，这里给你一个可以运行的程序。你愿意的话，可把它修改得更妙。以后我不再给出程序，但是计算机爱好者们会发现，编出他们自己的程序去对混沌的其他方面进行实验，是有益的。

10 INPUT k

20 x =0.54321

30 FOR n =1TO50

40 x = k * x * x -1

50 NEXT n

60 FOR n =1TO100

70 x = k * x * x -1

80 PRINT x

90 NEXT n

100 STOP

这回对任意 k 值，迭代 k x ² -1键。30～50句给予迭代序列以稳定到“长期”性态的时间，这时数字没有打印出来。例如，若你取k=1.4，则将得到一个1.4 x ² -1键。那竟是一个经过 16个 不同值的相当复杂的循环！混沌在 k =-1.5左右时到来。此后k取得愈大，就愈混沌。

似乎就那么回事，但并不那么简单。

k =1.74时，你看到十分发达的混沌。 k =1.75时，起初看起来也是如此。只是约50次迭代之后，它稳定到一个围绕着数

0.744　-0.030　-0.998

的周期为 3 的循环。模式从混沌中涌现。两者关系错综复杂。

我希望你发现这一秘密，并且激动不已。

如果真是这样，我鼓励你探索在 k ＜1或 k ＞1.40155范围内的性态。你可能在30或60句需要用更长的循环才能看到整个模式——当有一个模式时。

关于计算机和混沌，再说一句。我们都有把计算机计算视为精度最高的倾向。实际上不是这么回事。有限的存储量意味着存在计算机中的数只能达到很有限的精度，比如说小数点后8位或10位。而且，计算机用来表示它的数字的“专用”内部码和荧光屏上显示的“公用”码是不同的。这便引入了两种误差源：内部计算中的舍入误差和从专用码到公用码的翻译误差。通常这些误差对混沌没有多大影响，但混沌特有的特性之一，是小误差能够繁殖和生长。

假使所有的计算机都采用相同的代码，人生至少会是简单明了的。但是事实当然不是如此。这意味着， 相同的程序在不同厂家的两台计算机上运行 ， 会产生不同的结果 。“同一”软件的不同版本在同一计算机上运行时亦然。我将间或告诉你一些在我的计算机上得到的数值结果。请注意，你的计算机不会精确地给出相同的数！但如果你研究的数接近我正使用的那些，你应该能发现和我所发现的相同的那种性态。

我们发现了什么？

奇迹。紧密纠缠在一起的秩序和混沌，从像 kx ² -1那样简单的公式中涌现出来。有的 k 值产生的迭代是有秩序的，有的——并无显著差异的——k值则产生混沌。哪些导致秩序，哪些导致混沌呢？哈哈，现在你正在谈论数学研究。

一开始我们不理解土卫七，如今我们连2 x ² -1都不理解。在数学上却是进步斐然的。

之所以说进步，是因为我们正开始琢磨 问题究竟在哪儿 。在摆弄计算器之前，我们假定土卫七相当复杂，是可以原谅的。现在我们知道它不是这样。这种复杂情况与土卫七关系并不大。进行着的事情是很微妙，很基本，而且极度迷人的。

所有这些使我对宇宙学家很不满意，因为他们告诉我们，他们已经弄清楚神秘莫测的宇宙的起源，只有大爆炸的第一毫秒左右除外。还有政客们，他们不仅向我们保证，一剂坚挺的货币主义将对我们有益，而且他们还信誓旦旦地宣称几百万失业者不过是小小的呃逆而已。数学生态学家梅（Robert May）早在1976年就表达了类似的看法：“不仅在学术界，而且在日常的政治学界和经济学界里，要是更多的人认识到简单的系统不一定具有简单的动力学性质，我们的境况将会更好些。”