引力和几何学

有些大科学家是神童，但少年牛顿是一个普普通通的孩子，除了有一点制作小玩意儿的本领。据说曾经在一个热气球中失踪的家猫，是吃过苦头之后才学乖了的。牛顿于1642年出生在伍尔索普村，是一个体弱多病的早产儿。他在剑桥三一学院读书时并不特别引人注目。但当一场大规模的鼠疫袭来时，他远离学院生活回到自己的家乡，几乎单枪匹马地创立了光学、力学和微积分学。晚年他主持皇家造币厂，并担任皇家学会会长。他于1727年逝世。

伽利略发现了在地球引力作用下运动的物体具有恒定的加速度。牛顿追求着更大的目的：在所有的合力作用下支配物体运动的一套定律。

在某种意义上，这是一个几何学的问题，而不是动力学的问题。如果物体做匀速运动，则它经过的路程是速度与所花时间的乘积。如果物体作非匀速运动，就没有这么简单的公式。牛顿之前的数学家们所取得的重要进展表明，各种基本的动力学问题都可用几何学形式提出。不过那些几何学问题是很难求解的。

显示物体的速度随时间变化关系的图形，是一条曲线。由几何推论可以证明，物体运动的总路程等于曲线下包围的 面积 。同理，速度是另一种图形（路程—时间关系图）的 切线 的斜率。可我们怎样求得这些面积，作出这些切线呢？牛顿和戈特弗里德·莱布尼茨（Gottfried Leibriz） 通过把时间分成越来越小的间隔，各自独立地解决了上述问题。这样一来，曲线下的面积就变成大量竖直窄条的面积之和。他们证明了随着时间间隔逐渐变小，这种近似处理所带来的误差将变得很小，并且指出“在极限情况下”可使误差完全趋于零。同样，通过考察两个相邻时刻的数值，并且令两值之差为任意小，可以算得切线的斜率。两位数学家都不能为自己的方法提供一个合乎逻辑的严格证明，但他们都深信它是正确的。莱布尼茨谈论时间的“无穷小”变化；牛顿则有一幅更具体的描绘一些连续流变的量的图景，他把这些量称为 变数 和 流数 。

这些演算方法如今叫作 积分 和 微分 ，它们解决了由速度确定路程和由路程确定速度的实际问题。它们把极其丰富多彩的自然现象全都纳入了数学分析的范围内。