钟声和笛声

术语“分析”现今被用来描述具有更严格形式的微积分：是它背后的理论，而不是计算技术。它是在18世纪获得这一内涵的，当时在微积分的理论方面正得到实质上的推广。这一进展的主要设计师是莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）——有史以来最多产的数学家。微积分对数学物理学的大部分应用也归功于欧拉。欧拉1707年出生于瑞士，早年受宗教训练，但不久即转向数学，18岁就发表数学论文。19岁时，他因解决轮船桅杆设置问题而荣获法兰西科学院授予的一项数学大奖。1733年他就职于俄国圣彼得堡科学院。1741年他迁居柏林，但1766年应叶卡捷琳娜大帝（Catherine the Great） 之邀重返俄国。因此瑞士把他当作瑞士大数学家来纪念，而俄国则把他当作俄国大数学家，德国把他当作德国大数学家。他的视力逐渐减弱，到1766年双目失明。这对他继续作出庞大的创造性数学成果并没有显著的影响。

牛顿播下的种子第一次盛开的花是分析力学这门学科：完全地、明确地建立在微积分的基础之上的力学。这一学科的目的首先是找到刻画有关系统的运动的微分方程，然后是解出来。但是不久又开辟了全新的数学物理学领域。古代毕达哥拉斯学派的学者探求过数的和谐——或者更准确地说是和谐的数，因为音乐的数字学是他们最大的发现。许多人表示要弄清楚数学与音乐间的亲缘关系。尽管这样，从一根振动的小提琴弦的问题就已引出了惊人数量的重要的数学成果。例如，没有它，我们就不会有收音机和电视机。

通过求解一个合适的微分方程，布鲁克·泰勒（Brook Taylor） 于1713年发现，振动弦的基本形式是一条正弦曲线[图13（1）]。1746年达朗贝尔（d'Alembert） 注意到，其他形状也是可能的。

不要以为所有的数学家都过着单调而平凡的生活。

达朗贝尔完成了振动弦的一般性分析。他假定振动的振幅（量值）很小（以消去方程中不希望有的项，这种做法我们以后还要讲到），列出弦必须满足的一个微分方程。但这是一个新型方程—— 偏微分方程 。这种方程表示某个量的变化率与 几个 不同变量的关系。对小提琴弦来说，这些变量就是弦上一点的位置和时间。达朗贝尔进而指出，两个 任意 形状的波，一个向左传播，一个向右传播，它们的叠加亦满足这个方程。

欧拉很快就继续研究这一发现。他认为泰勒的单一正弦波形可以用它的高次谐波——波形相同，但振动频率是基频的2倍、3倍等的波——相合成[图13（2,3）]。在《一种新的音乐理论》（ A New Theory of Music ）一文中，他分析了钟和鼓的振动。丹尼尔·伯努利（Daniel Bernoulli） 把这一结果推广到管风琴管上。

物理学从音乐中产生。1759年，一位崭露头角的年轻人约瑟夫·拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange） 把这些思想应用于声波，并在10年内大大发展了一种全面而成功的声学理论。