重新表述时期

1750年，拉格朗日汲取了欧拉的思想，由此产生了动力学的一个精巧的、影响深远的重新表述。他的工作结晶出两个重要的思想。两者作为半焙干的 思想已经存在了几十年，但拉格朗日把它们烘焙成金褐色，从炉中取出，放在面包店的柜台上，供人们赞赏、购买和食用。

第一个思想，是能量守恒原理。经典力学认识到有两种形式的能量。 势能 是物体由于它的位置而具有的能量。例如，在重力场内，势能正比于高度。山顶上的物体比河谷里的物体有更大的势能，这就是翻山越岭比沿河岸行走更累的原因。 动能 是物体由于它的速度而具有的能量：驯服一匹脱缰的烈马比在草地上遛马要吃力得多。

在无摩擦的运动过程中，这两种形式的能量可以相互转换。当伽利略让铁球从著名的比萨斜塔上落下的时候，最初铁球具有很大的势能而没有动能，随着铁球的下落，势能不断转换为动能。也就是说，它的 高度渐减 而 速度递增 。大自然是一位一丝不苟的会计：账目的平衡——总能量（势能加动能）——是不变的。当铁球离开护墙下落时，它失去势能，因而必然获得动能。也就是说，它的速度加快了。牛顿第二运动定律以精确的定量形式有力地表达了这一定性论点。

拉格朗日的第二个思想，是引入“广义坐标”。坐标是通过使一组数与一个点相联系，把几何学转换为代数学的一种手段。数学家们发现，按照所处理的问题，用各种不同的坐标系来研究，是很便利的。拉格朗日必然断定，在数学理论中，不便运送这类计算性包袱。他从假定 不管什么坐标系 入手。然后以绝妙的简单性，他导出了具有 不依赖于 所选择的 坐标系 的形式的运动方程。拉格朗日的表述比牛顿的表述有众多优点。许多优点是技术性的——它在运动受约束时较易应用，避免了烦琐的坐标变换。但首要的是，它更普遍，更抽象，更精巧， 更简单 。

爱尔兰大数学家哈密顿（William Rowan Hamilton,1805—1865）吸收了上述思想。他以更大的概括性重新表述了动力学。在这理论的哈密顿形式中，动力学系统的状态用一组广义位置坐标（类似于拉格朗日坐标）和相关的一组动量坐标（对应速度乘以质量）来说明。单一的量（如今称为系统的 哈密顿量 ）通过这些位置和动量确定总能量。于是位置坐标和动量坐标随时间的变化率由哈密顿量以一组简单、精巧、统一的方程来表达。现今的高等动力学教科书就常以哈密顿方程为 起点 。