橡皮动力学

庞加莱已被公认为“最后一个通才”，最后一个能在数学这门学科的每一领域都有所建树的大数学家。他之所以是最后一个，是因为这门学科变得太庞大了，而不是它的从事者太笨或太专门。今天，数学有新的统一的迹象：通才的时代可能复归。庞加莱自然向奥斯卡国王难题发起了进攻。他并未攻克它：那是很久以后的事，而且所得到的不是原来预料的那种解。但是他给解打上了一个印记，不管怎样，他因此获得了奖金；为了做这工作，他发明了一个新的数学分支—— 拓扑学 。

拓扑学已被形容为“橡皮几何学”。更恰当地说，它是连续性的数学。连续性是光滑、渐变的研究，是不中断现象的科学。不连续性则是突然性的剧变，是原因的微小改变导致结果的巨大变化的地方。双手揉捏一块黏土的陶工，用连续的方式使它变形；但当他拉断一块黏土时，形变就成了不连续的。连续性是所有数学性质中最基本的性质之一。一个如此自然的概念，使得它的基本作用直到100年左右之前才变得明朗；一个如此有力的概念，使得它正改造着数学和物理学；一个如此难以捉摸的概念，使得甚至解答最简单的问题都要花几十年工夫。

拓扑学是一种几何学，不过它是一种长度、角度、面积和形状都无限可变的几何学。正方形可以连续地变为圆形（图22），圆形可以连续地变为三角形，三角形又可以连续地变为平行四边形。我们在孩提时代刻苦学习的所有几何形状，在拓扑学家看来，它们都是一种形状。拓扑学只研究形状在可逆的、连续的变换下不改变的那些性质。我所说的“可逆的”，指的是作逆变换也必须是连续的。掺进更多的黏土是连续变换；而反之——拉掉一些黏土——则不是。所以对拓扑学家而言，两块黏土不同于一块黏土：有些我们通常认为不同的事物仍然是不同的。

什么是原型拓扑性质？对于未受训练的耳朵来说，它们听上去是朦胧的、抽象的、模糊的。前面讲到的连通性是一个例子。一块还是两块？纽结性是又一个例子：纽结是 不管怎样变形 也解不开的一个回环。照这么说，它甚至 听上去 就是拓扑的。洞是拓扑体：你不能通过可逆的连续形变把洞去掉。在拓扑学家眼里，炸面圈等同于咖啡杯，因为它们各有一个洞。（你会猜测讲这话的是美国人，因为英国炸面圈没有洞，它们有——只要你回避某些超级市场——果酱。）

你不能用这类语言使作为一种技术工具的拓扑学得到发展。炸面圈“内”的洞确实环绕炸面圈，炸面圈又环绕洞，洞和炸面圈是相连的。认真的反思是适当的。它需要新概念，需要不属于日常经验的概念，需要没有现成名词可用的概念。于是数学家们发明新词或借用旧词，以必要的、絮叨的逻辑——比如我对可逆性的强调——把含义赋予它们，并且建造一个新世界。如果你拿起一本拓扑学教科书，你可能在前言中读到炸面圈或橡皮，但当深入到硬质时，术语就不太亲切了。连续映射。紧致空间。流形。三角剖分。同调群。切除公理。整个高耸的大厦，20世纪数学的 这一 巨大创造，归根结底是庞加莱的脑力产物。

初次与拓扑学打交道时，它显得非常抽象。就像一头疣猪仔，只有少数喜欢它的人觉得可爱，其他人却对它毫无兴致。但是庞加莱能透过疣猪皮看到其优美的思想。对于连续现象的严格理论，他具备洞察底蕴的广阔的数学阅历，包括纯粹数学和应用数学两方面的阅历。要了解什么是真正重要的，有时候需要一个通才，因为没有别人具备这一切。在他涉足的每一个方向上，庞加莱都遇到了只有拓扑学才能回答的问题。在他关于数论的工作中。关于复分析。关于微分方程。关于奥斯卡国王问题。