永恒的三角关系

永恒的三角关系把我们带回到了奥斯卡国王。在人事方面，两人则合，三人则分。同样，在天体力学中，二体相互作用性态良好，三体相互作用则多灾多难（图23）。至于太阳系中十几个大天体——嗯，任何觊觎奥斯卡国王王冠的人都将望洋兴叹。

庞加莱的获奖论文题为《论三体问题和动力学方程》（ Onthe Problem of Three Bodies and the Equations of Dynamics ）。它发表于1890年，原稿长达270页。第一部分确立动力学方程的普遍性质；第二部分把结果应用于牛顿万有引力作用下的任意多体运动问题。

二体——比如说仅仅由地球和太阳组成的宇宙——的运动是周期性的：它一而再、再而三地重复下去。根据神圣的传统，周期——运动重复所需时间——是一年。这立即证明地球不会冲撞太阳，或漫游到无穷远的外部空间中去；假如这样的话，它将每年都冲撞太阳，或每年都漫游到无穷远处去。那不是你不止一次能经历的事，这些事去年没有发生，就永远不会发生。也就是说，周期性给你一个装在稳定性上的很有用的把手。在真实宇宙中，其他天体会打破这一惬意的方案，但周期性——或有关的概念——仍然可能适用。

图23 三体运动的复杂性：这里一个尘粒绕两颗质量相等的固定行星作轨道运行

在论文的第三部分里，庞加莱力图解决微分方程周期解的存在性问题。他从经典模型入手，指出怎样通过把有关变量展开成一个无穷级数来获得周期解，这个级数各项都是时间的周期函数。“由此可知，”他说，“存在着具有周期系数并且形式上满足方程的级数。”

庞加莱有充分的理由使用“形式上”一词。他所用的方法 看上去似乎 行得通，可他担心看上去的外表可能靠不住。无穷级数仅当大量项的和稳定趋向于唯一值——这种性态称为 收敛 ——时，才有一个有意义的和。庞加莱强烈意识到这一点，说“剩下的就是证实这一级数的收敛性”。但是在这里，分析（像过去一样反复无常）抛弃了他。他坚信 能够 直接做到，但不愿进行这样的计算——或许因为他知道那将是难以解脱的困境，或许因为他实际上不知道怎样计算。“即使如此，”庞加莱告诉我们，“那种事我不想干，因为从另一角度再次审视这个问题时，我将严格地确证周期解的存在性，这存在性即意味着级数的收敛。”