一个拓扑学问题

下面是庞加莱的思想。假定在某一特定时刻，系统处于某一特定状态，其后在某一时刻，系统又处于同样的状态，所有的位置和速度都同时精确地等同如前，那么，微分方程解的唯一性要求系统必须不断重复使它的状态回复自身的那种运动。也就是说， 运动是周期性的 。

设想系统的状态由某种巨维 相空间 中一点的坐标来表示。当系统随时间演化时，这点的运动描绘出一条曲线。要使状态再次回复，这条曲线必须围成一个环（图24）。“曲线何时成为闭合的环？”这问题与环的形状、大小、位置统统无关：它是一个拓扑学问题。周期解的存在性，取决于一点在 此刻 的位置与它在一个周期后的位置之间的关系的拓扑性质。

庞加莱诚然未用这样的语言表述这个思想，但这是它内在的几何学思想；他在别处这样说过。现在以一种新的方式提出问题，要比解决它将变成什么更容易些，但庞加莱还有一种怎样求解这样的闭环的思想。让我用想象的方式来描绘它。你是一个俄国宇航员，你已把另一颗“宇宙号”间谍卫星送入环绕地球的轨道，你想知道这颗卫星的轨道是不是周期性的。与其自始至终跟踪卫星，不如摆正你的望远镜，使它扫过一个横贯南北地平线并从地心笔直上指的平面。卫星隔一段时间穿过这一平面。记下它首次穿过的位置、速度和运动方向。继续观察，但只在卫星穿过这个平面的时候观察即可。如果运动是周期性的，则它最终必以同样的速度在同一点到达这平面，并且方向相同，和你写在记录本上的数字一模一样。

换句话说，你不必观察所有的初始状态，只要观察几个就可以了。想象一个完整的初始状态面，追随每个初始状态的演化，直到它返回（如果它返回的话）并再次到达这个面（图25）。你能找到一个精确返回初始位置的状态吗？如果能找到，你就获得了一个周期解。

这个面现今称作 庞加莱截面 。它的一大优点在于摒弃许多迷惑人的废物，从而简化了观测动力学的问题。在这个工作中，你必须进行所能做到的每一步简化。例如，因拓扑学的缘故，仅仅庞加莱截面的 存在 有时候就会促使周期解出现。