天体混沌

这是一个如此强有力的思想，以至于庞加莱看到了一种全新的性态。以前从没有人这样想过。事实上，你必须在拓扑学意义上（或至少在几何学意义上）思考，才有发现它的希望：你从公式出发是无论如何得不到它的。

庞加莱着眼于一个理想的三体问题，称为 希尔 约化模型 。当三体中的一体的质量小到使它对另外两体不起作用——而矛盾的是，它们确实作用于它——时，这一模型适用。想象一个只含海王星、冥王星和一粒星际尘埃的宇宙。海王星和冥王星对这粒尘埃一无所知，你可以认为它不太会干扰两者的运行；于是它们以为自己处在二体宇宙之中。“啊哈！”海王星 挥舞着他的三叉戟说，“牛顿算出来了——我以椭圆运行！”冥王星 则摆动尾巴随声附和。这两者以堂皇的形式围绕它们共同的引力中心旋转。

另一方面，尘粒很清楚海王星和冥王星的万有引力，因为它们到处拉扯它。它在两行星共同的旋转引力场内运动。它不把自己看作三体系统的一个成员，而看作在一个旋转又固定的地形上滚动的小球。

这就是希尔约化模型。

庞加莱决定把他的截面方法应用于希尔约化模型，去寻找尘粒的周期运动。若斯勒（Otto Rössler）极好地总结了他的发现，我对他的原话稍加改动，删去有关技术细节：

当二维动力学系统中的轨线相交时，它们交于奇点。这些点已被庞加莱分了类，例如“鞍点”和“结点”。当“同一”事情发生在二维截面中时，轨线在这里相当于截面的叶，因而相交可能仍是鞍点、结点等。但这时存在第二种可能性：相交于 非奇 点。通过这点的轨线像任何其他非奇点一样，下次必然在另外某一点处

到达这个截面。可是——现在有两叶。因此，两叶必得反复相交，从而形成无穷多交点的“栅网”（图26）。正如庞加莱所指出的，所有这一切都是有点复杂和违反直觉的。庞加莱确实发现这种性态是如此复杂和违反直觉，以致像他在《天体力学新方法》（ New Methods of Celestial Mechanics ）第三卷中所说的，他根本不想把它画出来：

当人们试图描画由这两条曲线和它们的无穷次相交（每一次相交都对应于一个双渐近解）构成的图形时，这些相交形成一种网、丝网或无限密集的网状结构；这两条曲线从不会自相交叉，但为了无穷多次穿过丝网的网节，它们必须以一种很复杂的方式折叠回自身之上。这一图形的复杂性令人震惊，我甚至不想画出来。没有什么能给我们一个三体问题复杂性的更好的概念。

庞加莱的发现表明，极其复杂的动力学确实能在像希尔约化模型那样简单的事物中出现。在丝网的交点处出发的系统描出一条曲线，当它返回庞加莱截面时，在另一交点处到达丝网，然后又是另一交点，另一交点，如此等等。但丝网以如此复杂的方式被拉伸和被折叠，以致实际上这系统以无规则的点序列穿过庞加莱截面。它有点像一辆周游城市的公共汽车，反复通过中心广场，但每次对广场中上百万个不同的公共汽车站无规则地进行选择。你会看到公共汽车又来了，你知道它将停靠在广场里——但你无从知晓究竟该到哪一个车站去等它。

庞加莱在他的相交叶栅网（如今称为 同宿栅栏 ）中，注视着混沌的足迹。像紧盯着整齐地印在沙中的五个脚趾印的鲁滨孙（Robinson Crusoe） 一样，他明白他所看见的东西的重要性。像鲁滨孙一样，他并不为这景象而狂喜。