你要是赢不了，就骗

摆的传统处理方法如下。如果我们知道摆在任一给定时刻的悬挂角度，它的状态便得到恰当的描述。这就是摆系统根据牛顿运动定律列出的方程。这是一个包含该角度的二阶导数——变化率的变化率——以及其他一些变量（例如绳子长度和重力加速度）的微分方程。

下一步：解方程。你可能惊讶地发现，这是极端困难的，因为其中含有被称作椭圆函数的棘手项。少数大学力学课程实际上一笔带过这一内容。现在你该明白欧拉说“分析抛弃我们”时的意思了吧。在这个节骨眼上，由来已久的策略便是骗。

方程难以求解的原因在于，作用于摆的力近乎（但 不完全 ）正比于摆与竖直方向的夹角。假使它 精确地 与夹角成正比，你只需要少许三角学知识就够了，你会成功的。可它不成正比（这是一个悬案，和悬着的摆一样，到时机成熟的时候再说）。

如今数学号称精密科学。“不完全成正比” 不 等于“成正比”，不管差别多么小。真糟糕：为了前进，让我们降低严格性的标准，装作根本不存在那细微的差别。（“ 骗人 ！”当我们在物理课上遇到这种手法时都会这样叫起来。老师承认这方法也适用于振动着的小提琴弦。）如果我们对于理想化了的摆不能解出方程，就让我们对一个赝摆（在小角度情况下，作用于它的力非常接近于理想模型中的力）来分析方程吧。在这一赝摆——为使它听来更体面，改称为 简谐振荡器 ——中，力精确正比于角度。

现在 ，我们能解出方程了。想象在零时刻我们把摆拉到一边，使它与竖直方向成角度A，然后放手。结果时刻t时的角度是

这里 t =时间，

g =重力加速度，

l =摆长，

A =初始位移。

摆的质量未计入——由于和伽利略所观测到的相同的原因：轻物和重物以相同的速度下落。

我们知道余弦曲线的性态：它在1和-1之间摆动，每2π弧度（360°）重复自身。所以摆的角度以类似的方式在A和-A之间摆动。负角度指“摆向竖直方向的左边”，正角度指“摆向右边”，所以摆周期性地在角度A与-A之间左右来回摆动，一遍一遍地重复同样的运动。它多长时间重复一次呢？从公式我们可以求出周期，它等于：

你能从这个公式中学到不少东西。摆愈长，摆动时间也愈长：4倍摆长使摆动周期加倍，9倍摆长使周期成为3倍，以此类推。你可以用它来做求重力加速度的实验：只要测定摆长和周期，就可用上面的公式解得g。假使你在木星上，你可以测定木星的重力加速度，并且通过计算它的平均密度来推算木星的化学组成。

因此这摆的分析是好的物理学。但以它目前的形式而言，它不是好的数学。美丽的恋爱关系会建立在谎言之上，但面对着可怕的事实时，是不会牢固的。同样地，外表优美的数学会建立在假象之上；而面对严酷的事实时，它也易于解体。

使摆分析成为好的数学有几种方法。便利的方法如上所述：引入理想化的运动形式，即“简谐运动”，其中驱动力与位移成正比。然后你用某种狡猾的手法解释它与摆的关系。较为诚实的方法是陈述并证明一条定理，它说明近似问题的这一精确解正是在什么意义上可以当作精确问题的近似解。（不，弗吉尼亚，它们 不 是一回事：数学里没有圣诞老人。 ^[1] ）这可以做到：俄国大动力学家李雅普诺夫（Aleksandr Mikhaylovitch Liapunov） 于1895年证明了这条必不可少的定理。大量优美的数学从他的“中心定理”发展出来——要是数学家们满足于假定（而不是证明）摆的小振荡近似于简谐运动，所有这些优美的数学将统统得不到。

话又说回来，你也不要仅仅因为尚无人证明这条定理，就坐着悲叹不能测定重力加速度。科学是一个具有混合动机的复杂创造物，创造性的欺骗在合适的场合效果很好。

可是，我们姑且假设你感兴趣的不是用摆测定重力加速度，而是了解摆究竟在干什么（图27）。小振荡？蠢话！我想了解大振荡！来而复往？瞧，我能使摆像飞机螺旋桨那样一圈一圈飞速旋转！我给它的能量越多，它便转得越快。 你怎么说周期永远相同 ？

对此也有一个经典答案，我曾说过，它含有椭圆函数，含有许多复杂而高深的数学。

但是，还有一个非常漂亮的几何学答案，这个答案不费多少力气就将主要现象搞清楚，而且具有提供对动力学的某种真正深入理解的优点。我们将转向这个答案。

[1] “是的，弗吉尼亚， 有 圣诞老人”出自美国新闻史上很有名的一篇社论《圣诞老人真的有吗——回答孩子提出的问题》，全文见《读者》杂志1995年第6期第40页，刘明华译。