非象类动物学

你一定以为， 对摆有点小题大做 。然而存在着更大的启示。

多年以前，一个同事在北威尔士完婚，我全家驱车去这一地区度周末。在一片森林地带，我们发现一个宽约百米的湖泊，几乎完全平静。孩子们合乎天性地向湖中掷石头，我们注视着波纹以完整的圆扩展开来，几乎遍及整个湖。更多块石头掷向同一点，又有几个圆形花样叠加在第一个花样上。

这个实验室外的实验证实了 干涉 的物理原理（图30）。峰峰交叠或谷谷交叠的地方，波纹得到加强。峰谷相遇的地方则相抵消。

它还证实了微分方程的一个数学性质，称作 线性 。如果方程的两个解的和仍是方程的解，这方程就是线性的。液面上浅波的运动很接近地由波动方程描述，波动方程和大多数经典方程一样，是线性的。两块石头扰动的解，恰好是集中于各适当点的一块石头扰动的各个解的和。

正如以上所表明的，解线性方程通常比解非线性方程容易得多。求出一两个解，你可以随意得到更多的解。简谐振荡器的方程是线性的；摆的真实方程却不是。传统做法是舍弃非线性方程中所有难处理的项，使它 线性化 。就摆而言，这给出一个近似的理论，它假定摆动非常之小。

不言而喻地假定的是，由于方程中略去的项都很小——这是真的，所以线性化方程的解与真实方程的解之间的差异也必然很小——这还有待弄清楚。对摆来说，如上所述，存在一条认为这做法有效的定理。另一方面，正视完整的方程，我们得到一幅更加令人满意的图景，即使我们不复拥有一个可用来获得答案的公式。

公式？谁关心公式？公式是数学的表象，而不是数学的本质！

在经典时代，由于缺少对付非线性的技术，线性化过程被推向这样的极端，使线性化往往 与建立方程同时 发生。热流是一个好例子：经典热学方程甚至在你要动手解它之前就取线性形式。但是真实的热流并非如此，至少有一位专家特鲁斯德尔（Clifford Truesdell）认为，不管经典热学方程如何有利于数学，它对热的物理学却有害无益。

不大有人自问，对一种 求解错误方程 ——严酷的事实——的方法来说，长远的未来会怎样。“给我一个解答！”就是要求。线性理论满足这一要求，指望无人注意到那是 错误的 解答。

今天的科学表明，大自然无情地是 非 线性的。无论上帝从事什么，它都没有显式公式。上帝有一台像整个宇宙那么万能的模拟计算机用来操作——事实上它 就是 整个宇宙，上帝在为铅笔和纸张设计的公式里找不到多少乐趣。较不亵渎的说法是：大自然是非线性的并不奇怪。如果你“随意”画一条线，那不会是一条笔直的线。同样，如果你把手伸进微分方程的摸彩袋，不出现线性方程的可能性是无穷大。

经典数学倾全力于线性方程，有一个很实际的原因：它不能解任何别的方程。比起典型微分方程那些桀骜不驯的流氓般古怪行为来，线性方程是唱诗班的一群男童歌手。（“规矩”兼有“规律”和“直尺”的意义，是巧合吗？）线性方程如此驯良，以致经典数学家愿意损害他们的物理学以换取线性方程。于是经典理论研究的是 浅 波、 低 幅振动和 小 温度梯度。

线性习惯变得根深蒂固，致使到20世纪40年代和50年代，许多科学家和工程师除此之外竟一无所知。一位著名的工程师说：“上帝不会如此不仁，使得自然界的方程成为非线性的。”上帝又一次代人类的愚钝受过。这位工程师的意思是他不知道如何解非线性方程，但不够老实去承认这一点。

线性是一个陷阱。线性方程的性态——像唱诗班的男童歌手们一样——与典型性态相去甚远。但如果你断定，只有线性方程才值得研究，那无异于自我禁锢。你的课本充满了线性分析的成功，它的失败被埋藏得如此之深，以致连坟墓都看不见，坟墓的存在也没有人注意。如同18世纪笃信钟表世界一样，20世纪中叶则恪守线性世界。

平心而论，“线性理论”在有些地方对你是很有用的。不过在多数这样的场合，这种成功与物理直觉的非凡成就或者与单凭经验而来的动力学规律的显著意义关系不大——因为有一些像样的定理能精确地解释线性理论何以管用，何时管用。

但是在某些地方，它并不奏效。它在天体力学中不管用，庞加莱正是在这时与混沌不期而遇的。它在其他力学问题中也不管用，比如自由物体在三维空间的一般运动。它甚至在简单如摆的东西中都不管用。物理学家和工程师们日益发现，在研究层次上正是 非 线性现象控制着局势。欧姆 定律提供了一个简单的例子。它说的是，流经电路的电流等于外加电压除以电路的电阻。这是线性关系：依照欧姆定律，如果你加上两个电压，从而“叠加”两条电路，则对应的电流也加在一起，给出组合电路中的电流。但晶体管却是因为它们 不 服从欧姆定律而起作用的。

实际上，上述讨论所用的整个语言都是颠倒混乱的。称一般微分方程为“非线性”方程，好比把动物学叫作“非象类动物学”。但是你明白，我们生活在这样一个世界里，多少世纪以来它以为现存的唯一动物就是大象，它设想壁脚板上的洞是幼象凿的，它把翱翔的雄鹰当作耳朵变翼的呆宝（Dumbo） ，把猛虎当作身披花纹的短鼻子大象，它的分类学家们则施行矫正手术，使得博物馆的动物标本清一色地由笨重的灰色象类动物组成。

“非线性”就是如此。