把它卷起来……

回到摆的问题。为了展现其他特点，我们拿摆的图景来玩一些数学游戏。在讨论螺旋桨式运动的时候，我说过运动从-180°到+180°完成一个整圆，事情确是如此：这两个值代表摆的同一位置。按照现在的情况，这个图景把上面所说的显示得不很清楚：右边+180°与左边-180°看上去相距很远。我们如何能使-180°和+180°出现在同一位置上？

问题不在于摆，而在于我们的坐标系。摆知道-180°=+180°，它通过一圈一圈平滑地旋转，而不是每次回到顶端时突然跃过这个虚构的缺口，来证明这一点。我们是我们测量角度的特殊方式的受骗者。我们正试图用依靠直线生存的 数 ，来表示依靠圆生存的 角度 。方法是（在概念上）把线卷成圆，以便我们在到达360°的时候回归我们的出发点0°。这意味着，把360°（以及它的任意倍数）与一个角度的数值度量相加，仍表示同一个 角度 。因为-180°+360°=+180°，所以这两个角度相同。

顺便说一句，你不能两边除以180而得出-1°=+1°。请你仔细考虑原因何在。

几何圆怎么“知道”-180°=+180°呢？它所以知道，是因为它卷过一圈而自相衔接。这便给圆以全然不同于线的拓扑学特性，并且解释了我们何以遇到问题：我们力图用依靠线生存的数，来表示拓扑学特性不对头的对象。无怪我们不得不稍许陷入圈套了！

要得到摆运动的更加忠实的图景——它的几何结构精确地反映实际的图景——我们还得如法炮制。我们 把整个图景 横向 卷起来 ，让左右两边靠在一起，并使-180°和+180°在实质上重合。也就是说，我们把纸片卷成圆筒（图31）。

我应该补充一句，摆的速度方面不存在这类问题。每秒180°的角速度 不 等于每秒-180°的角速度。前者代表逆时针旋转的螺旋桨，后者则代表顺时针旋转的螺旋桨。只要你对角 位置 和角 速度 之间这一奇妙的差别进行长期而艰苦的思索，那么许多奥秘，包括——要是你有欧拉或哈密顿那样的洞察力的话——诸如“余切丛上的辛结构”之类研究哈密顿动力学的全部现代拓扑学方法，都将历历在目。这是一个在研究生水平以下罕遇的课题；但在很现实的意义上，它全部存在于摆之中。在数学里，常有小实例发展成大理论。别担心——只要记住位置和速度具有大不相同的数学性质就行了。

很好。现在摆的动力学依靠圆筒生存，周期运动真的 看来 是周期性的。我们还能怎么办？

有些运动比另一些更加强劲。然而此刻尚难以看出“能级”。从图景中应该明了的是，眼睛的瞳孔是能量最低的运动，随着能量的增大，摆通过虹膜，通过眼缘，向上到达眉毛和皱纹。或者用动力学语言来说，振荡变大直至摆越过顶点并开始嗖嗖地过去。

把圆筒弯成U形管（图32）就是解。如果你以恰当的方式做到这一点，你就得到一幅同时显示摆的运动和对应能级的图景。如果你在给定能级处水平切开U形管，所得曲线就描绘出对应的运动。

你还会看到，何以在足够高的能量处存在 两种 不同类型的周期运动（顺时针和逆时针），而在低能量处却只有 一种 （来而复往）。你无法区别“顺时针往复”和“逆时针往复”。U形管顶部有 两个 分支，它们在底部相连。如果不这样，便不称其为U形管，而是II形管了。

你可能发问，所有这些做法的用意何在。它们表明，实质上摆的全部定性动力学特征——不仅在它的静止状态附近，而且整体地、处处地在高能量或低能量处——可以包容在单一几何图景内。

这个图景可以形式化，被翻译成适当的数学语言，不仅可用来研究摆，还（至少在原理上）可用来研究不管多么复杂的任何动力学系统。因为几何学和拓扑学同是非常有力的工具，你可以用这样的图景取得有关动力学的知识，这从经典的“推出公式”观点出发是完全做不到的。也许根本不 存在 公式。然而几何学，像贫困一样，始终不离我们左右。