比摩擦更奇妙

如果我们现在追问“要是存在微量的摩擦则会怎样”，那么这一几何学观点的作用将益发明显。我假设你通过计算椭圆函数 可能 得到一个解答。我从未见过谁做了这件事——它会是一件真正的 杰作 ，或者因为毫无意义而成为 冒牌货 。但运用几何学，它再简单不过了。

摩擦的效应是什么？它造成能量的损失。实际上损失的能量转化为热，它导致能量守恒定律的小小改动。这就是你搓手保暖的道理。

在我们的U形管图景中，能量损失对应于下降到较低的能级。想象以高速开始做螺旋桨式运动：圆筒上的动点代表摆的运动，它在U形管一个分支上极快地向上旋转到某处。掺进一点摩擦造成缓慢下降，动点开始向管底作螺旋下降（图33）。这代表摆的旋转的逐步迟缓，但它继续在同一方向旋转，因为它仍处在管的同一分支上。

但是螺旋终于到达管的弯部，进入往复运动的较低区域，在那里作螺旋下降。用动力学语言来说就是，摆旋转得愈来愈慢，直至它刚好不能到达顶点，于是逗留片刻又回落。这时摆沿相反方向旋转，从另一边接近顶点，但离顶点的距离更大。现在它来回振荡，摆动幅度慢慢减小，最终在底部静止下来。

图33 阻尼耗散能量：阻尼摆经过各能级作螺旋下降

所有这些都是从物理学上凭直觉获得的，是从U形管图景中自然产生的。但是如上所述，从真实动力学方程中很难推出这一性态。所以在这样一个简单的情形中，用公式求解方程是一种不切实际的指望，但我们几乎不费力气就可从几何学中得出答案。