多维传奇

1884年，一位名叫埃德温·A.艾勃特（Edwin A.Abbott） 的英国牧师再版了他的惊世骇俗之作《平面国：多维空间传奇往事》（ Flatland:A Romance of Many Dimensions ）。献辞如下：

谦卑的平面国人

谨以此书

献给

普通空间 的居民

和特殊空间 的下议院

希望

正如他在神秘的 三 维中开始的那样

以前 只 熟悉 二 维

所以天国的居民还会进一步渴求

四、五甚或六 维的奥秘

于是

为在 千人一面的人类 的优种之中

开阔 想象力

和尽可能地发挥

最稀有、最杰出的 谦逊 之才

而贡献一份力量。

男主人公“正方形”居住在二维空间中。由于从外部空间来访的一个球体的启发，他知道存在着第三维，并为寻求更高的维而激怒了他的访客，结果被他的同胞们视为异端，终于被关进监狱。

如今，多维空间的概念在数学科学中已变得如此流行，以致它几乎被认为理所当然。不承认它的存在，不对它表示肯定，将成为异端。物理学家们目前正在猜测，时空实际上可能有十维：三维空间，一维时间，另六维蜷曲得太紧，所以看不见。但这另外六维振动不止，这就是粒子物理学全部复杂性的由来。

多维空间的概念在拓扑动力学的发展和混沌的发现中起着重要的幕后作用。概念是简单的；所包含的精神图景或许不是这么简单。

这完全取决于坐标几何的自然推广。从一维开始：线。线上的每个点都可用一个数x来描述：它离给定的固定点的远近。同样，平面上每个点可用它的相对于一对固定轴的两个坐标x和y来描述。三维空间中的每个点则可用三个坐标x, y和z来描述。

但为什么停在这里呢？

是的，它 正好是 字母表的末尾，但那看来不成其为真正的障碍。用 四个 坐标 w , x , y , z 描述的点是怎么样的？大概它们对应于某种四维空间。坐标 v , w , x , y , z 则提供五维空间，以此类推。

在一定意义上，就是那么回事。再没什么要说的了。我们现在已经给我们所说的五维空间下了定义， 完毕 。

当然，有些附属细则应当引起注意。让我们承认，关于这些新“空间”，存在着某种较少空间性的东西。我们并不——看来如此——生活在它们中的任何一个里面：我们生活在古老又适意的三维空间里。（包括时间则是四维：见后。）我们的物理空间 为什么 以这种方式限制自己，是一个谜。但它意味着，我们的头脑在 想象 四维以上的空间时有一定的困难。

在某种程度上，那便是问题之所在。我们的视觉系统被训练得在三个空间维里识别物体。由此看来，“想象”还不是目标！我们必须做的，乃是发展一种新的几何直觉。而那正是数学家们数十年来所做的。他们首先玩些小的类比游戏。例如：

● 线段有2个端点，

● 正方形有4个角，

● 立方体有8个角。

2,4,8, …之后是什么？啊哈！ 因此

● 四维超立方体有16个角，

● 五维特立方体有32个角，

● 六维甚立方体有64个角。

以此类推。这全是“让我们假设”的奇妙游戏，最后用带有像六维空间（ u , v , w , x , y , z ）那样的坐标系的精确定义和计算来支撑。它有一种内在一致性，更中肯地说， 它像几何学的样子 。例如，在三维空间里有五种正多面体（四面体、六面体、八面体、十二面体、二十面体）。你可以证明，在四维空间中有 六种 超正多面体！但在五维、六维、七维空间中，却只有三种。这不有点奇怪吗？这些空间有它们自身独立的同一性。大概这里有某种值得梳理清楚的东西。

多维空间的概念变得被认可，特别是当它开始启示确属美妙的数学的时候。所有这些的主要建筑师，是英国数学家凯莱（Arthur Cayley） 。当1874年皇家学会挂起这位伟人的肖像时，麦克斯韦发表了一篇演说，结尾是一首诗：

前进，符号主人！以雄健的步伐，

直达空间和时间的火热边界！

在二维空间里停留，直到被狄肯森（Dickensen） 描绘，

我们可以勾勒出那个人的形貌，

他的灵魂太大，在世俗空间里容纳不下，

在n维空间里不受限制地繁荣起来。

也许这些概念只是些奇思妙想，但数学界开始明白，几世纪来他们一直在研究多维空间而不自觉——好比莫里哀（Molière）的主人公汝尔丹（M.Jourdain） 惊讶地发现他一生都在说散文而不自知。例如考虑三体问题。你想计算些什么？三体各自的位置和速度。现在，各体都有3个位置坐标（因为它生存在普通三维空间中）和3个速度坐标（理由同上）。所以你正面对一个含有18个不同的量的问题。你正在十八维空间中思考。

自行车（在保守的估计下）有5个主要运动部件：把手、前轮、曲柄-链条-后轮组合和两块踏板（图34）。每一部件需要一个位置坐标和一个速度坐标来描述它：工程师会说它有“10个自由度”。要骑自行车，你必须把握十维空间中一点的运动！大概这就是自行车那么难学的原因吧。哦，还 没有 就自行车在路上的所在地引入变量。

然而，巧妙的重新表述多得一文不值。大多数也根本无用。

这回不是。它提供了一个优美的几何框架，使得动力学中正在发生的事情容易“看清”得多。学会它要花些时间，实际上无人真正对十维空间是何种样子有很好的概念；但它确有助益。例如，一位拓扑学家会在黑板上画两个粗糙的圆，说“考虑十维空间内的两个七维球”，而不理会发生什么特别的事情：听众也会如此。

爱因斯坦——和他的前驱者们——提高了作为一个第四维的时间概念的地位。（不是“那个”第四维：第四维也多得很。在自行车上，一旦你认定了哪些是前三维，你便有七维可供挑选。）但事情走得还要远些。在任何问题中，不论是物理学问题还是心理学问题，每一个令人感兴趣的不同的量都可作为问题中的一个新维来处理和想象。经济学家们经常耍弄几千个变量，尽力使公司攫取最大利润。 他们是在数千维的空间里工作 。（那便是经济学何以如此繁难的一个原因，我并不是在开玩笑。）这类事情中最近一次引人注目的突破，一个被称作卡马卡尔（Karmarkar） 算法（图35）的方法，正是通过这样的思考问题而得以发现的：它以泰然的姿态谈论“n维椭球”。