n 维空间中的动力学

可是，决定问题的是多维空间概念彼此吻合的方式。恰似999维手套里的999维手。

例如，我们在前面得出的摆的动力学图景向多维空间推广。具有 n 个自由度——即 n 个不同变量——的系统可视为生存在n维空间里。 n 维空间内单个点的 n 个坐标，同时定义所有 n 个变量。哪一种情况更容易想象：是概念的十维空间中的一个动点呢，还是把手来回晃动、踏板升降不匀的一辆摇摆不定的自行车的全部动力学复杂性？

不错。暂且忘掉十维空间，只考虑一个点。是不是更好些？好。

运动定律怎样进入这个图景中呢？它们告诉我们给定的初始点如何在它的多维空间里运动。它描绘出某种曲线——爱因斯坦称它为“世界线”。现在你可以想象沿这些曲线运动的一整束初始点。它们就像某种沿曲线流动的流体粒子。

自行车的特定运动对应于一个点在虚拟的十维空间中的运动。自行车所有可能的运动则对应于虚拟流体在这一虚拟十维空间中的流动。

定理： 如果系统是哈密顿系统 （ 即无摩擦 ）， 则流体是不可压缩的 。

我希望这一点将使你猛然回到现实世界中来，正像我经常体验的一样。它不是一场玄虚的游戏！而是 现实 ！

我的意思是，如果几何图景不是仅仅把动力学转化为某种愚笨空间内的某种愚笨流体的运动，而且还使它不可压缩，那么必然有某种相当深刻的事情在进行中。（也就是说，“体积”的十维模拟在流体流动时 保持等同 。）这一不可压缩性定理是刘维尔（Joseph Liouville） 在19世纪发现的，它的推论是惊人的。

如果系统不是哈密顿系统——即比如说有摩擦——则你仍可考虑流体，但它不再是不可压缩的。比较图32和图33，你就能得出所有这些概念。想象一滴二维流体充满图32中U形管底部的小圆。（ 别 考虑充满管的“内部”的流体：只有管的 表面 才对应于物理实在！）随着时间的推移，这滴流体不停地旋转，陷在小圆内不能自拔。它的面积不变。但是图33中类似的一滴流体却不得不经过各能级向管底螺旋下降，所以它必然收缩。这是哈密顿系统与非哈密顿系统（即耗散系统）之间的根本区别。

不可压缩性是这样一个自然概念，以致这条定理不能成为巧合。除非你赞同冯内古特（Kurt Vonnegut） 在《猫的摇篮》（ Cat's Cradle ）中的话：上帝创造宇宙是把它做成一个精心策划的恶作剧。