光阴似箭

我们将从具有两个自由度（即我们可以在平面上画图）的一个系统入手。与同样生存在平面上（或至少在圆柱上，那也一样）的摆不同，这系统不是哈密顿系统。事实上，它不对应于任何特定的物理模型。它将是用来图解二自由度系统很可能陷入的典型性态的一个纯数学构造。

你想必记得，给定单个微分方程，我们可以通过想象沿方程的轨线流动的虚拟流体，来获得所有可能的初始点的运动的形象。如果你选定一个起点，即这方程的一组初始条件，那么它随后运动的坐标就是具有这初始条件的微分方程的解。

显示这些流线相互配合情况的图画，称作方程的 相图 （图36）。“图”看上去十分清楚，而且比许多数学术语要形象生动得多。“相”这个古怪词似乎来自电机工程学。振荡波形具有 振幅 ——波形的大小，具有 相位 ——波形在周期中的位置。只要把两者标绘出来，便得到一个平面图。嗯，无论如何，那是我的理论。

用来表示流的曲线，对应于各个不同初始点的坐标的时间演化。箭头标明随时间推移的运动方向。就简谐振荡器和摆而论，我们在图28和图29里见过两种相图。

注意流是如何相配的：相邻曲线上的箭头靠得较近。这意味着概念流体（它的流由线代表）并未扯开：运动是 连续的 。

我想提醒你注意，这一特殊的流有4个特征。

首先，左边有一个点，所有邻近流线都以螺旋形向它靠拢。这称作 汇 。它很像流体汩汩汇流入的排水孔，或许由此而得名。

右边则是一个出水孔，流体从这一点以螺旋形离去。这称作 源 。不妨想象一下从源泉滚滚流出的流体。

两者之间有一个流线似乎交叉的地方。这称作 鞍 。实际上流线没有相交；其中大有名堂，我将在后面介绍。如果两股真实流体相互冲撞，你看见的就是鞍。

最后，右边有一个闭合的环围绕着源。这就是 极限环 。它像涡流一样，流体在这里一圈一圈地旋转。一个旋涡。

我们在几页的篇幅里将看到，大致说来，平面内的流拥有这些特征（部分或全部），典型的除此再无其他。每个特征可能有些个别的性质，但你找不到更复杂的。我还将解释我在这里为什么用“典型地”一词。但是首先让我们更仔细地认识平面内的流——即具有二自由度的微分方程——的这4个基本特征吧。